Elliptic Curve Digital Signature Algorithm

Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA) je variant podpisovej schémy DSA (Digital Signature Algorithm) s dodatkom na základe ECC. Je navrhnutý tak, aby bol existenčne nefalšovatelný.

Nastavenie systému

Zadefinujeme si subjekty:

U – signer
V – verifier
M – message
S - signature

V skutočnosti platí, že hneď po podpísaní správy M každý subjekt V s kópiou U verejného kľúča môže overiť daný podpis S.

Predpokladajme, že Alice (U) chce poslať podpísanú správu Bobovi (V).

Subjekty U a V musia vykonať nasledujúci postup pre prípravu využitia ECDSA:

jednotka U by mala určiť, ktoré z podporovaných hašovacich funkcií je potrebné použiť pre generovanie podpisu.
jednotka U by mala stanoviť domenové parametre eliptických kriviek T=(p, a, b, G, n, h) or (m, f(x), a, b,G, n, h) pre požadovanú úroveň zabezpečenia.
subjekt V (Bob) by mal získať autentickým spôsobom hašovaciu funkciu a doménový parameter T, aby V mohol určiť, či doménové parametre sú platné pre krivku pomocou jednej z vybraných metód.
jednotka U by mala vytvoriť kľúčový pár eliptických kriviek (d, Q) v spojení s T pre použitie v podpisovej schéme. Kľúčový pár tvorí verejný kľúč Q a privátny kľúč d.
subjekt V by mal získať autentickým spôsobom Alicin verejný kľúč Q.

Podpisová operácia

Input: Vstupná správa M, ktorá je správa určená pre podpis a Alicin privátny kľúč d.
Output: Podpis S=(r, s), zložený z dvoch celočíselných sekvencií r a s.

Na vytvorenie podpisu S z M použije Alica (U) Signture Generation Algorithm:

1. použijeme hašovaciu funkciu, ktorú sme zvolili na výpočet celočíselnej hash hodnoty: e=HASH(M)
2. vyberieme náhodné číslo k z intervalu [1, n – 1].
3. vypočítame r = x₁ mod n, kde x₁ = kG, ak r = 0 proces sa opakuje
4. vypočítame s = k⁻¹(e + rd) mod n, ak s = 0 proces sa opakuje
5. výstupný podpis S = (r, s)

Overovacia operácia

Input: pre overenie podpisu potrebuje Bob poznať svoju kópiu Alicinho verejného kľúča Q, pôvodnú správu M a podpis S.
Output: Údaj o tom, či podpis S bol overený, teda či správa M je true alebo false.

Ak Bob nemá dôveru v kľúč Q, musí si ho potvrdiť:

Overí si, či Q nie je rovná Ό , inak sú jeho súradnice platné.
Overí si, či Q leží na danej krivke.
1.Overí si, či nQ = Ό, kde Ό je náš bod v nekonečno na krivke.

Následne pre overenie podpisu S sa použije Signature Verification Algorithm:

1. overuje, či r a s sú celé čísla v intervale [1, n - 1]. Ak nie, podpis je neplatný a overovanie je zastavené
2. použijeme hašovaciu funkciu na výpočet celočíselnej hash hodnoty e = HASH(M)
3. vypočítame: w = s⁻¹ mod n
4. vypočítame: u₁ = ew mod n a u₂ = rw mod n
5. vypočítame: R = (x_R, y_R) = u₁ G + u₂ Q , [R ≠ Ό] inak sa procedúra opakuje
6. vypočítame: v = x_R (mod n)
7. porovná či r = v, ak áno operácia je validná

Pozri aj

Podrobnejší opis a význam jednotlivých parametrov a ich generovanie pozri v článku Kryptografia na báze eliptických kriviek.

Referencie

[1] Brown, D.: Elliptic Curve Cryptography, 2009.
[2] Don, J., Menezes, A.: The Elliptic Curve Digital Signature Algorithm, Canada, 2000.
[3] Locke, G., Gallagher, P., Digital Signature Standard, FIPS PUB 186-3, NIST,USA, 2009