L’Hospitalove pravidlá alebo L'Hôpitalove pravidlá (vyslovuje sa lopitalove) slúžia na výpočet limít tzv. neurčitých výrazov typu
a
. Tieto pravidlá možno použiť tiež pri riešení neurčitých výrazov typu
,
,
,
alebo
, ktoré však vhodnými úpravami prevádzame na neurčité výrazy typu
alebo
.
Ako prvý tieto pravidlá zverejnil Guillaume de l’Hospital v roku 1692. Tieto pravidlá však pravdepodobne boli známe už Johannovi Bernoullimu.
Ak máme funkcie
, pre ktoré v bode c platí
a
, potom v prípade, že existuje (vlastná alebo nevlastná) limita
, platí
![{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/376c3052e4409c8b271b6d37dff54387cd939092)
kde
označuje deriváciu funkcie.
Podobne v prípade, kedy máme funkcie
, pre ktoré v bode c platí
a
. Ak existuje (vlastná alebo nevlastná) limita
, potom opäť platí vzťah
![{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/376c3052e4409c8b271b6d37dff54387cd939092)
Uvedené l'Hospitalove pravidlá sú použiteľné aj v nevlastných bodoch.
Ak je
v bode c opäť neurčitým výrazom, možno l’Hospitalove pravidlá použiť opakovane. Takto môžeme postupovať, dokiaľ nezískame nejaký výraz, ktorý nie je neurčitý.
Úprava výrazov pre použitie l’Hospitalovho pravidla[upraviť | upraviť zdroj]
l’Hospitalove pravidlá sú definované len pre neurčité výrazy typu
alebo
. Ostatné neurčité výrazy je nutné previesť na tento typ neurčitého výrazu.
Uvažujme ďalej funkcie
, ktoré v bode c naberajú hodnôt 0 alebo
.
- Ak
predstavuje v c výraz
, potom ho môžeme upraviť na
, čo je výraz typu
, alebo na
, čo je výraz typu
.
- Ak
predstavuje v c výraz typu
, potom ho možno upraviť na
, čo je výraz typu
.
- Ak
predstavuje v c výraz typu
, potom ho upravíme na
, kde v exponente je výraz
, ktorý možno ďalej upraviť na výraz
alebo
. Pri riešení potom využijeme toho, že
.
- Ak
predstavuje v c výraz typu
, potom ho upravíme na
, kde v exponente je výraz
, ktorý ďalej riešime rovnako ako v predchádzajúcom bode.
- Ak
predstavuje v c výraz typu
, potom ho upravíme na
, kde v exponente je výraz
, ktorý ďalej riešime rovnaku ako v predchádzajúcom bode.
- Výraz
predstavuje pre
neurčitý výraz typu
. Pomocou l’Hôpitalovho pravidla teda bude
![{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {\ln x}{x^{3}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {\frac {1}{x}}{3x^{2}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{3x^{3}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{\infty }}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9baed563f3dd8187ab12b2619275505dd3419c5)
- Neurčitý výraz typu
prevedieme úpravou súčinu f(x)g(x) na podiel
alebo
získame tak neurčitý výraz typu
alebo
. Ten už určíme l’Hôspitalovým pravidlom.
![{\displaystyle \lim _{x\to 0_{+}}(x\cdot \ln x)=\lim _{x\to 0_{+}}{\frac {\ln x}{\frac {1}{x}}}=\lim _{x\to 0_{+}}{\frac {(\ln x)^{'}}{(x^{-1})'}}=\lim _{x\to 0_{+}}{\frac {\frac {1}{x}}{-x^{-2}}}=-\lim _{x\to 0_{+}}{\frac {\frac {1}{x}}{\frac {1}{x^{2}}}}=-\lim _{x\to 0_{+}}x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31ad3aa8be5c0c3b721c156572cd3d191883bb43)
Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku L'Hospitalovo pravidlo na českej Wikipédii.