Stirlingova aproximácia

Rýchlosť konvergencie (n ln n − n) ku (ln n!) pri rastúcom n: pri veľkom n je aproximácia veľmi presná

Stirlingova approximácia, tiež nazývaná ako Stirlingova formula je približný vzťah na výpočet veľkých faktoriálov. Je pomenovaná po Jamesovi Stirlingovi, škótskom matematikovi.

Zjednodušená (a menej presná aproximácia), znie takto:

$\ln(n!)\approx n\ln n-n+1.$

Táto aproximácia sa tiež nazýva po Stirlingovi. Presnejšie vyjadrenie Stirlingovej approximácie vyzerá takto:

$n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\,\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.$

Odvodenie

Nasledujúce odvodenie platí len pre zjednodušenú aproximáciu, ktorá je však väčšinou postačujúca. Namiesto toho, aby sme aproximovali n!, vyjadríme prirodzený logaritmus tohoto faktoriálu:

$\ln(n!)=\ln 1+\ln 2+\cdots +\ln n.$

Pravú stranu si musíme predstaviť ako určitý integrál zjednodušený podľa lichobežníkového pravidla. Ak by sme x-ovú os rozdelili po jednotkových intervaloch, tak ide vlastne o výpočet integrálu $\int _{1}^{n}\ln(x)\,dx$ podľa lichobežníkového pravidla.

$\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x$

$\int _{1}^{n}\ln(x)\,dx=[x\ln(x)-x]_{1}^{n}=n\ln(n)-n+1$

Táto aproximácia je zaťažená chybou, ktorá sa dá odhadnúť na základe určitých pravidiel a jej započítanie vedie k presnejšej Stirlingovej formule.

Táto aproximácia je veľmi dôležitá v štatistike, keďže vo výrazoch na výpočet pravdepodobnosti často figurujú faktoriály. V štatistickej termodynamike sa vďaka nej dajú zo základných princípov odvodiť niektoré ďalšie vzorce.

Pozri aj

• Faktoriál
• Zmiešavacia entropia