Rýchlosť (fyzikálna veličina)

Rýchlosť (iné názvy: vektor rýchlosti, okamžitá rýchlosť, vektor okamžitej rýchlosti, ďalšie synonymá pozri nižšie v článku; značka obyčajne v) je zmena polohového vektora (čiže jednoducho celková zmena polohy) za veľmi krátky časový interval (t.j. v = dr/dt); ide o vektorovú veličinu.

Veľkosť takto definovanej rýchlosti (nie však rýchlosť samotná) je rovná aj zmene dĺžky dráhy za veľmi krátky časový interval (t.j. |v|=ds/dt), pretože pre veľmi krátke časové intervaly (nie však pre normálne časové intervaly) zaniká rozdiel medzi veľkosťou zmeny polohového vektora a zmenou dĺžky dráhy (čiže |dr|=ds). Rozdiel medzi zmenou polohového vektora a zmenou dĺžky dráhy spočíva v tom, že kým zmena polohového vektora (nazývaná aj posunutie) udáva najkratšiu vzdušnú “vzdialenosť” medzi začiatočným a koncovým bodom pohybu, zmena dĺžky dráhy udáva dĺžku celého fyzicky prejdeného úseku (často kľukatej) “cesty” medzi začiatočným a koncovým bodom pohybu.

V literatúre sa nepresne alebo zjednodušene pojem rýchlosť niekedy definuje inak (pričom potom ale spravidla neplatia vyššie uvedené synonymá “vektor rýchlosti”, “okamžitá rýchlosť” atď., ani značka v, a často ani nejde o vektorovú veličinu), a to napríklad ako synonymum priemernej dráhovej rýchlosti (t.j. zmena dĺžky dráhy za iný než veľmi krátky časový interval, čiže Δs/Δt) alebo ako synonymum okamžitej dráhovej rýchlosti (t.j. ds/dt, čo je zároveň, ako už bolo spomenuté vyššie, rovné |v|). Podrobnejšie o definícii a vzorci rýchlosti pozri nižšie.

Definícia rýchlosti

Význam a vysvetlenie značiek uvedených v tomto podnadpise pozri pod nasledujúcim podnadpisom.

Slovo rýchlosť (bez ďalších prívlastkov) môže znamenať:

• najčastejšie a najsprávnejšie: v
• menej často:
  • súhrnné označenie pre v_p a v
  • súhrnné označenie pre v_d,p, v_d, v_p a v
• skôr neodborne (v bežnej reči, nepresne, v učebniciach pre deti a pod.):
  • v_d,p
  • v_d
  • veľkosť rýchlosti (t.j.súhrnné označenie pre v_d,p v podobe Δs_a/Δt, v_d (=|v|) v podobe ds_a/dt a prípadne aj |v_p|), pričom v_d,p a v_d sa zvykne uvádzať vo formulácii „pomer prejdenej dráhy a príslušného času“, „zmena dráhy za príslušný čas“, „dráha ubehnutá za jednotku času“ a pod.
• zriedkavo:
  • pomer zmeny dĺžky a príslušného času (t.j. Δl/Δt resp. l/t, pričom dĺžka l je veličina SI)
  • súhrnné označenie pre v_d,p a v

O významoch výrazu rýchlosť v spojeniach s prívlastkami pozri pod nasledujúcim podnadpisom.

Základné vzorce

Tu sú uvedené základné štyri vzorce, ktoré sa v literatúre vyskytujú v súvislosti s rýchlosťou, s ich rôznymi názvami v literatúre a poznámkami. Vysvetlivky značiek zo vzorcov sú uvedené dole pod názvom Vysvetlivky značiek použitých vo vyššie uvedených vzorcoch.

Vzorec	Opis vzorca	Názvy v literatúre (zoradené od dlhších po kratšie)	Značky	Súvislosti vzorca
vd,p =Δs/Δt	Udáva pomer zmeny s (t.j. dĺžky dráhy resp. krivočiarej súradnice – pozri poznámka 2) k časovému intervalu, počas ktorého táto zmena nastala.	stredná (alebo priemerná) dráhová rýchlosť, stredná (alebo priemerná) rýchlosť v dráhe, stredná (alebo priemerná) skalárna rýchlosť, skalárna stredná (alebo priemerná) rýchlosť, stredná (alebo priemerná) veľkosť rýchlosti, veľkosť strednej (alebo priemernej) rýchlosti, absolútna hodnota strednej (alebo priemernej) rýchlosti, veľkosť rýchlosti, stredná (alebo priemerná) rýchlosť, rýchlosť. Z toho najčastejšie sú názvy stredná (alebo priemerná) rýchlosť a rýchlosť.	V tomto článku sa používa značka vd,p. V literatúre sa používajú značky <vd>, <v>, |<v>|, vst(Δt), vs ,vp , v̅p ,v̅, v(d)s, v12 alebo v.	(úmyselne prázdne)
vd =ds/dt	Udáva prvú deriváciu s (t.j. dĺžky dráhy resp. krivočiarej súradnice – pozri poznámka 2) podľa času, alebo inak povedané vd,p pre infinitezimálne krátky časový interval (ds/dt = limΔt→0 (Δs/Δt)). Udáva teda hodnotu Δs/Δt v jednom okamihu.	okamžitá dráhová rýchlosť, okamžitá rýchlosť v dráhe, okamžitá hodnota dráhovej rýchlosti, okamžitá skalárna rýchlosť, skalárna okamžitá rýchlosť, dráhová rýchlosť v čase (či okamihu) t1, dráhová rýchlosť, skalárna rýchlosť, okamžitá rýchlosť, rýchlosť. Z toho najčastejšie sú názvy okamžitá rýchlosť a rýchlosť. Vzhľadom na vd=(+/-)|v| sú relevantné aj názvy pre |v|. Názvy pre |v| sa tvoria spojením výrazu „veľkosť“ alebo „absolútna hodnota“ s názvom pre v , čiže dostaneme názvy: veľkosť (alebo absolútna hodnota) (vektora) rýchlosti, veľkosť (alebo absolútna hodnota) (vektora) okamžitej rýchlosti a pod.; ďalšie názvy pre |v| sú okamžitá veľkosť rýchlosti a zriedkavo tempo. Dráhová rýchlosť (rýchlosť v dráhe) môže byť aj súhrnný názov pre vd,p a vd	V tomto článku sa používa značka vd. V literatúre sa používajú značky vd(ti), v(t), v(t1), v*s , v alebo (najčastejšie) v, pričom v (resp. v) je tu myslené ako znak veľkosti vektora v (čiže |v|).	=|v|= |dr/dt|= $\textstyle {\sqrt {({\frac {dx}{dt}})^{2}+({\frac {dy}{dt}})^{2}+({\frac {dz}{dt}})^{2}+...}}$ = v/τ = (dr/dt)/τ = (dx/dt, dy/dt, dz/dt, ...)/τ = ((dx/dt).i + (dy/dt).j + (dz/dt).k +... )/τ =$\textstyle v_{d,0}+\int \limits _{t_{0}}^{t}a_{d}\,\mathrm {d} {\bar {t}}$
vp = Δr/Δt	Udáva pomer zmeny polohového vektora k časovému intervalu, počas ktorého táto zmena nastala.	vektor strednej (alebo priemernej) rýchlosti, vektorová stredná (alebo priemerná) rýchlosť, stredná (alebo priemerná) vektorová rýchlosť, stredná rýchlosť v intervale <t1,t2>, stredná (alebo priemerná) rýchlosť, rýchlosť posunutia Z toho najčastejší je názov stredná (alebo priemerná) rýchlosť. Názov rýchlosť posunutia je veľmi zriedkavý.	V tomto článku sa používa značka vp. V literatúre sa používajú značky <v>, vst(Δt), v(t1,t2), vs, vp, vav alebo v̅.	= (Δx, Δy, Δz…)/Δt = (Δx/Δt, Δy/Δt, Δz/Δt…) =Δ(x.i + y.j + z.k ...)/ Δt = (Δx/Δt).i + (Δy/Δt).j + (Δz/Δt).k +...
v = dr/dt	Udáva prvú deriváciu polohového vektora podľa času, alebo inak povedané vp pre infinitezimálne krátky časový interval (dr/dt = limΔt→0 (Δr/Δt)). Udáva teda hodnotu Δr/Δt v jednom okamihu.. V grafe, na ktorého osiach sú nanesené karteziánske pravoúhle súradnice, má v smer dotyčnice ku trajektórii .	vektor okamžitej rýchlosti, vektorová okamžitá rýchlosť, okamžitá vektorová rýchlosť, vektor rýchlosti v okamihu t1, vektor rýchlosti, vektorová rýchlosť, okamžitá rýchlosť, rýchlosť v danom časovom okamihu, rýchlosť v okamihu t1, rýchlosť. Z toho najčastejšie sú názvy rýchlosť a okamžitá rýchlosť. O názvoch veľkosti v (t.j. |v|) pozri aj komentár v stĺpci Názvy pre vd. Vektor rýchlosti môže byť aj súhrnný názov pre vp a v.	V tomto článku sa používa značka v. V literatúre sa používajú značky v(ti), v(t), v(t1), ẋ alebo (zďaleka najčastejšie) v.	= (dx, dy, dz...)/dt = (dx/dt, dy/dt, dz/dt, ...) = d(x.i + y.j + z.k ...)/dt = (dx/dt).i + (dy/dt).j + (dz/dt).k +... = vd.τ = (ds/dt).τ = ds.τ/dt =$\textstyle {\boldsymbol {v}}_{0}+\int \limits _{t_{0}}^{t}{\boldsymbol {a}}\,\mathrm {d} {\bar {t}}$

Poznámky k tabuľke

1. Hlavná definícia rýchlosti, teda rýchlosť v pravom slova zmysle, je vzorec v. Vyplýva to z príslušnej normy ISO 80000 a veľkej väčšiny odborných zdrojov, kde sa výrazom “rýchlosť” označuje špeciálne tento vzorec.

2. O dvoch spôsoboch definovania s:
Značku s použitú vo vyššie uvedených vzorcoch sa možno pri bližšom pohľade definovať dvoma odlišnými spôsobmi (a tým pádom z jedného vzorca pre rýchlosť obsahujúceho sfakticky dostaneme dva rôzne vzorce):

• a) Jedna možnosť je definovať „s“ ako dĺžku spojitej čiary, ktorú daný hmotný bod opisuje, od začiatočného bodu pohybu. Takto definované „s“ bude vždy kladné. Ak sa hmotný bod pohybuje vpred, toto „s“ pochopiteľne stúpa (čiže Δs resp. ds je kladné), ale „s“ stúpa aj vtedy, ak sa hmotný bod pohybuje vzad. Toto „s“ sa označuje ako dĺžka (či veľkosť) dráhy či dráha a ide o základnú, najbežnejšiu definíciu „s“ vyučovanú na nižších školách.
• b) Druhá možnosť je definovať „s“ ako krivočiaru súradnicu (iné názvy: jednorozmerná (polohová) súradnica s, dráhová súradnica, dĺžka oblúka, dĺžka (či veľkosť) dráhy/dráha), teda ide o jednorozmernú polohovú súradnicu na krivke pohybu daného hmotného bodu, čiže počet jednotiek meraných pozdĺž krivky pohybu od počiatku krivočiarej súradnicovej sústavy (teda od bodu s=0). Zjednodušene povedané sme tu teda vlastne klasickú súradnicovú sústavu zredukovali na len jednu os - (napr.) os x, túto os x sme „prilepili“ (respektíve „premenili“) na krivku pohybu a „x“ sme premenovali na „s“. Na rozdiel od „s“ podľa možnosti a), takto definované „s“ môže byť aj záporné (napriek slovu „dĺžka“ či „veľkosť“ v niektorých názvoch tohto „s“). Ak sa hmotný bod pohybuje vpred (čiže Δs resp. ds je kladné), toto „s“ stúpa, ak sa pohybuje vzad, toto „s“ klesá (čiže Δs resp. ds je záporné). Toto „s“ sa v literatúre značí aj písmenom u.

Z toho vyplýva (vysvetlivky: _a znamená „podľa možnosti a“, _b znamená „podľa možnosti b“):

• Ak sa hmotný bod pohybuje stále len s jednou orientáciou (teda buď stále len vpred alebo stále len vzad), tak Δs_a = |Δs_b|, a ak je navyše začiatočný bod pohybu zhodný s počiatkom krivočiarej súradnicovej sústavy , tak platí aj s_a = |s_b|.
• Vždy platí, že Δs_a dostaneme z Δs_b tak, že v možnosti b) celý pohyb rozdelíme na jednotlivé časti (úseky), v rámci ktorých sa pohyb uskutočňuje vždy len s jednou orientáciou (teda buď stále len vpred alebo stále len vzad), a následne sčítame absolútne hodnoty všetkých týchto úsekov. Formálne teda vždy platí Δs_a =|Δs_b,1|+|Δs_b,2|+…+|Δs_b,n|, kde s_b,i znamená krivočiaru súradnicu týkajúcu sa úseku i (=1 až n), v rámci ktorého sa pohyb uskutočňuje len s jednou orientáciou.

Pre úplnosť treba dodať, že existuje ešte kvázi tretia možnosť pre význam značky „s“: Ojedinele sa totiž symbolom Δs či Δs (resp. pre „celkový“ pohyb s či s) - a niekedy dokonca aj verbálne výrazom “(prejdená) dráha” a pod. – nevhodne označuje posunutie (teda Δr). Podobná ale trochu odlišná, je tu situácia pri infinitezimálnych zmenách (teda d namiesto Δ). Aj tu sa možno stretnúť aj so zápisom v podobe ds, ktorá vlastne znamená dr. Vzhľadom na to, že (pozri nižšie) platí dr = ds. τ (resp. dr =|ds_b|. τ), tak sa pre nevhodnú značku ds dá uviesť aspoň aké-také opodstatnenie, a síce také, že ds je len iný zápis pre výraz ds. τ (pri zápis Δs takéto opodstatnenie uviesť nemožno).

3. O vzťahu medzi r a s:
Je dôležité si uvedomiť, že kým medzi Δs a Δr je veľký rozdiel, medzi ds a dr je rozdiel minimálny:

• Kým Δs sa meria pozdĺž krivky pohybu so všetkými jej záhybmi a otočkami, Δr je len najkratšia (čiže priamočiara) spojnica medzi začiatočným a koncovým bodom pohybu. v_d,p teda udáva rýchlosť zmeny dĺžky dráhy hmotného bodu, kým v_p udáva rýchlosť celkovej zmeny polohy hmotného bodu. Výnimku tvorí priamočiary pohyb, pretože pri ňom má Δr a Δs rovnakú veľkosť (|Δr|=Δs, resp. |Δr| = |Δs_b|) aj smer, majú však (ak pracujeme s s_b) prípadne rozdielnu orientáciu a samozrejme platí aj to, že kým Δrsa zapisuje ako vektor, Δs sa zapisuje ako skalár. Celkovo teda platí: Δr = Δs.τ (resp. Δr = |Δs_b|.τ), pričom ak stanovíme s_b,0 =0 a pohybujeme sa len v kladnom smere „číslovania“ trajektórie (čiže s_b je kladné), tak dostaneme Δr = s_b.τ.
• Pri ds a dr platí to isté, čo pri Δs a Δr pre priamočiary pohyb, čiže medzi dr (značeným aj ds či dl) a ds je rozdiel malý, lebo majú rovnakú veľkosť (|dr| = ds, resp. |dr| = |ds_b|) aj smer, majú však (ak pracujeme s s_b) prípadne rozdielnu orientáciu a samozrejme platí aj to, že kým dr sa zapisuje ako vektor, ds sa zapisuje ako skalár. Celkovo teda platí a platí dr = ds. τ (resp. dr =|ds_b|. τ) .

Súhrnne teda možno konštatovať, že medzi s a r je v zásade značný rozdiel a nie je možné uviesť všeobecný vzorec, ktorý ich spája. Výnimku tvoria nasledujúce špeciálne prípady, v ktorých takýto všeobecný spájajúci vzorec možno uviesť:

• pre priamočiary pohyb: Δr = |Δs_b|.τ, čiže r = r₀ + |s_b-s_b,0|.τ. Ak stanovíme s_b,0 =0 a pohybujeme sa len v kladnom smere „číslovania“ trajektórie (čiže s_b je kladné), tak dostaneme Δr = s_b.τ, čiže r = r₀ + s_b.τ.
• pre veľmi krátke časové intervaly: dr=|ds_b|.τ

Istá (zložitejšia) súvislosť medzi s a r sa dá uviesť aj pre rovnomerný pohyb: |dr|/dt (= |ds_b|/dt) = |Δs_b|/Δt

4. Z predchádzajúcich dvoch poznámok vyplýva, že vo vzorci pre v a |v| treba vykonať nasledujúce spresnenie: Keďže |dr|=|ds_b|=ds_a (Poznámka: Pre infinitezimálne malé zmeny (?vždy) platí |ds_b|=ds_a, teda pohyb má za ten veľmi krátky čas maximálne jednu orientáciu, čiže sa ide stále len vpred alebo stálen len vzad), tak:

• |v|= |dr/dt|=|ds_b/dt|= ds_a/dt (resp. |v|= |dr|/dt = |ds_b|/dt = ds_a/dt)
• v =|v|.τ= |dr/dt|.τ = |ds_b/dt|.τ = (ds_a/dt). τ (resp. v =|dr|.τ /dt = |ds_b|.τ /dt = ds_a.τ/dt

5. K vzorcu v_d,p :
V menej náročnej literatúre sa niekedy formálne rozlišuje podľa zohľadneného rozsahu trajektórie hmotného bodu:

• vzorec pre úsek (teda len časť) trajektórie: Δs/Δt (Vzorec pre úsek trajektórie sa obyčajne používa, ak sa rýchlosť počas pohybu mení a chceme pohyb rozdeliť na úseky majúce konštantnú rýchlosť)
• vzorec pre celkovú trajektóriu: Ten sa zapisuje
  • ako s/t (Zápis Δs/Δt sa matematicky zredukuje na zápis s/t, ak pohyb začína v bode, kde s=0 a t=0, teda ak sledujeme trajektóriu od jej úplného začiatku a začiatočný čas stanovíme ako 0) alebo
  • ako (Δs₁ + Δs₂ + ... +Δs_m)/ (Δt₁ + Δt₂ + ...+ Δt_m), kde Δs_k je dĺžka dráhy na trajektóriovom úseku k (=1 až m) a Δt_k je príslušný časový interval

6. Dôležité je si všimnúť, že matematicky platí v_d = |v|, teda okamžitá dráhová rýchlosť je jednoducho to isté ako veľkosť okamžitej rýchlosti (presnejšie pri použití s_b: v_d = +/-|v|)..

Vysvetlivky značiek použitých vo vyššie uvedených vzorcoch

• t: čas
• x, y, z… súradnice v klasickej (teda pravouhlej karteziánskej) sústave súradníc; niečo iné je x
• i, j, k…sú jednotkové vektory v smere jednotlivých osí súradníc (teda osí x, y, z…)
• Δ: (neinfinitezimálna) zmena (iné názvy: prírastok, časť, element, interval) danej veličiny
• d: diferenciál (iné názvy: diferenciálna (či elementárna či infinitezimálna) zmena (či prírastok, časť, element, interval)) danej veličiny ; niečo iné je d
• ||: 1. V prípade skalárov táto značka znamená absolútnu hodnotu. 2. V prípade vektorov táto značka znamená tzv. veľkosť vektora (iné názvy: dĺžka, absolútna hodnota, norma či modul vektora). Ak si nejaký vektor nazveme napr. w, tak |w| = |(x, y, z...)| = $\textstyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}+...}}$ = w/w₀ (kde w₀ je príslušný jednotkový vektor). Namiesto značky |w| sa používa aj značka w (t.j. píše sa „normálne“ písmeno bez tučného formátovania resp. bez šípky) alebo w (t.j. písmeno sa píše kurzívou)..
• Orientácia vektora (iný názov: zmysel vektora) znamená buď „vpred“ alebo „vzad“ (oboje po čiare smeru vektora).
• τ (alebo: τ^o, e_t, i): tangenciálny (či dotyčnicový) jednotkový vektor, čiže jednotkový vektor v smere dotyčnice krivky pohybu (trajektórie) v danom bode krivky pohybu a s orientáciou rastúceho s_b (teda v smere pohybu); je to vlastne „smerová zložka“ vektora rýchlosti (keďže v = |v|. τ)
• τ^o: pozri pod τ
• e_t: pozri pod τ
• i:(1) pozri pod τ, (2) pozri pod i, j, k
• v_d,p , v_d, v_p, v: bližšie vysvetlené v tomto článku
• s : (1) s_a, t.j. (i) dĺžka dráhy (iné názvy: veľkosť dráhy, dráha), teda dĺžka spojitej čiary reálne opísanej hmotným bodom pri jeho pohybe, (ii) ako i, ale len pre prípad, že sa pohyb začína v bode s=0 a t=0; (2) s_b (alebo u), t.j. krivočiara súradnica (iné názvy: jednorozmerná polohová súradnica s, dĺžka oblúka, dĺžka dráhy, veľkosť dráhy, dráha) – pozri poznámku 2 vyššie
• s: Vektor s nie je celkom ekvivalent k skaláru s. Vektor s sa totiž vyskytuje iba (1) v spojení ds ako iný zápis pre ds.τ, čiže dr alebo (2) (zriedkavo a nevhodne) v spojení Δs (resp. aj v podobe s, ak sa pohyb začína v s=0 a t=0) ako iný zápis pre Δr - pozri poznámku 2 vyššie
• Δs nazývame zmena (či prírastok) dĺžky (či veľkosti) dráhy, zmena (či prírastok) dráhy, prebehnutá (či prejdená/ urazená/ vykonaná) dĺžka (či veľkosť) dráhy, prebehnutá (či prejdená/urazená/vykonaná) dráha, dĺžka (či veľkosť) časti (či úseku/elementu/intervalu) dráhy, dráhový úsek, dĺžka (či veľkosť) dráhy či dráha (pričom názvy dĺžka dráhy/veľkosť dráhy/dráha sa sú aj – primárne – názvy pre s).
• ds nazývame diferenciál (dĺžky či veľkosti) dráhy, elementárna (či infinitezimálna/diferenciálna) dĺžka (či veľkosť) dráhy, elementárna (či infinitezimálna/diferenciálna) dráha, elementárny (či infinitezimálny/diferenciálny) prírastok (dĺžky či veľkosti) dráhy, (diferenciálny) element dráhy a pod.
• Δs: pozri pod s (a pod Δ)
• ds: pozri pod s (a pod d)
• d alebo D: pozri pod Δr.
• r (alebo x): polohový vektor (iné názvy: sprievodič, rádiusvektor ). Je to vektor, ktorý sa začína v počiatku klasických súradníc, teda v bode (0,0,0…), a končí v aktuálnej polohe hmotného bodu. Ide len o inú formu zápisu súradníc aktuálnej polohy hmotného bodu; napríklad ak sa hmotný bod nachádza v polohe so súradnicami (2,5,7), tak jeho polohový vektor znie (2,5,7) (ide o vektor spájajúci bod (0,0,0) a bod (2,5,7) ). Ako pri všetkých vektoroch, aj pre tento vektor platí r = (x, y, z …) = x.i + y.j + z.k ... Nahrádzanie znaku r značkou x je časté najmä pri jednorozmernom priamočiarom pohybe (potom sa namiesto x často píše jednoducho x), čiže pri pohybe, ktorý sa v klasickej sústave súradníc dá zobraziť ako pohyb len po jednej osi (napríklad po osi x); x potom znamená nielen r, ale zároveň aj jednoducho súradnicu x. Pozri aj Δr a dr nižšie.
• Δr (alebo Δx) nazývame zmena (či prírastok a pod. – pozri pod Δ) polohového vektora (či sprevodiča/rádiusvektora) alebo vektor posunutia (iné názvy: posunutie, vektor premiestnenia, premiestnenie, orientované posunutie alebo zriedkavo vektor posunu). De facto je oboje to isté (lebo vektor posunutia je výsledok zmeny polohového vektora), hoci niektoré texty používajú priamo koncept vektora posunutia (resp. jeho synoným), bez toho, aby tento koncept výslovne charakterizovali ako výsledok zmeny polohového vektora.. Namiesto Δr (či Δx) sa ojedinele používa aj značka d či D (ako značka posunutia – angl. displacement); d je pritom niečo úplne iné než značka d pre diferenciál.. Okrem toho sa namiesto Δr (či Δx) ojedinele používa (nevhodne) znak Δs – k tomu pozri poznámku 2 vyššie.
• dr (alebo dx) nazývame (a) diferenciál polohového vektora (či sprievodiča/rádiusvektora), elementárna (či infinitezimálna či diferenciálna) zmena polohového vektora (či sprievodiča/rádiusvektora), elementárny (či infinitezimálny či diferenciálny) prírastok polohového vektora (či sprievodiča/rádiusvektora) a pod. (pozri pod d), (b) orientovaný element (krivky) dráhy, (c) diferenciál (vektora) posunutia (či premiestnenia), elementárny (či infinitezimálny) vektor posunutia (či premiestnenia), elementárne (či infinitezimálne) posunutie (či premiestnenie), element posunutia (či premiestnenia) a pod.. Namiesto značky dr (či dx) sa občas používa aj značka ds (správnejšie je písať: ds.τ) a ojedinele aj značka dl.
• x: pozri pod r
• Δx: pozri pod Δr
• dx: pozri pod dr
• dl: pozri pod dr
• Δx/Δt, Δy/Δt, Δz/Δt… nazývame zložky (či komponenty či súradnice) vektora v_p alebo priemety vektora v_p do jednotlivých súradnicových osí
• dx/dt, dy/dt, dz/dt… nazývame zložky (či komponenty či súradnice) vektora v alebo priemety vektora v do jednotlivých súradnicových osí alebo súradnicové rýchlosti
• u: pozri pod s
• v_d,0: v_d v čase t₀
• v₀: v v čase t₀
• a_d: okamžité dráhové zrýchlenie – podrobnosti pozri nižšie
• a: vektor okamžitého zrýchlenia –podrobnosti pozri nižšie

Zrýchlenie

Kvôli ďalšiemu textu článku je potrebné stručne najprv vysvetliť pojem zrýchlenie.

Podobne ako pri rýchlosti, aj pri zrýchlení možno rozlíšiť 4 typy vzorcov, z toho najdôležitejšie dva sú:

• a_d = dv_d/dt = (+/-)d|v|/dt; a_d sa volá okamžité dráhové zrýchlenie (iné názvy: dráhové zrýchlenie, okamžité zrýchlenie, zrýchlenie)
• a =dv/dt; a sa volá vektor okamžitého zrýchlenia (iné názvy: okamžité zrýchlenie, zrýchlenie).

Vektor a možno vždy rozdeliť na dve zložky a = a_t + a_n, pričom:

• a_t = |a_t|. τ = (d|v|/dt). τ ; a_t sa volá tangenciálne (či dotyčnicové) zrýchlenie a informuje nás o a_d, a teda o zmene |v|, čiže veľkosti rýchlosti, v priebehu času; smer vektora tangenciálneho zrýchlenia je vždy rovnobežný so smerom vektora v, pričom pri zrýchlenom pohybe má aj rovnakú orientáciu ako v a pri spomalenom pohybe má opačnú orientáciu než v
• a_n = |v|.(dτ/dt); a_n sa volá normálové (najmä v kontexte pohybu po kružnici aj: dostredivé či centripetálne) zrýchlenie a informuje nás o zmene τ, teda o zmene smeru a orientácie vektora rýchlosti, v priebehu času; smer vektora normálového zrýchlenia je vždy kolmý na smer vektora a_t a teda aj vektora v, a to s orientáciou dovnútra oblúka krivky dráhy, teda dovnútra “kopca”

Vyššie uvedené vzorce dostaneme matematicky uplatnením pravidla pre deriváciu súčinu (teda v našom prípade pre deriváciu |v|.τ) takto: a = dv/dt = d(|v|.τ)/dt = (d|v|/dt).τ+|v|.(dτ/dt)

Pre veľkosti týchto vektorov platí:

• |a_t| = a_d (Presnejšie platí +/-|a_t| = a_d podľa toho, či ide o pohyb zrýchlený alebo spomalený, čiže podľa toho či sú vektory v a a_t rovnako alebo opačne orientované)
• |a_n|= |v|²/R (R sa volá polomer krivosti krivky a je to polomer oskulačnej kružnice v danom bode krivky, čiže polomer takej kružnice priloženej ku krivke v danom bode krivky, ktorá najlepšie “kopíruje” priebeh krivky v okolí daného bodu krivky; ak má krivka tvar kružnice, tak je pochopiteľne R zhodné s polomerom tejto kružnice.)
• |a| =$\textstyle {\sqrt {|{\boldsymbol {a}}_{t}|^{2}+|{\boldsymbol {a}}_{n}|^{2}}}$

Skladanie vektorov rýchlostí

Pri tzv. zložených pohyboch (napr. človek bežiaci v pohybujúcom sa vlaku, šikmý vrh, prechod cez tečúcu rieku a pod.) je potrebné sčítavať viaceré rýchlosti. Ak je rýchlosť vyjadrená ako vektor, tak je potrebné použiť zásady platné všeobecne pre skladanie (teda sčítanie) vektorov. Pokiaľ ide o veľkosť výsledného vektora, platia pre skladanie dvoch vektorov (v našom prípade v₁ a v₂) tieto zásady (* znamená „výsledný“; v hranatých zátvorkách je využitý vzťah |v|= v_d, nemalo by sa ale zabúdať, že ide o zjednodušenie, lebo v skutočnosti |v|= +/- v_d – porov. napr. poznámku na začiatku kapitoly Vzorce rýchlosti pre rôzne druhy pohybov):

• a) všeobecne platný vzorec: Z tzv. kosinusovej vety vyplýva vzorec |v*| = $\textstyle {\sqrt {|{\boldsymbol {v}}_{1}|^{2}+|{\boldsymbol {v}}_{2}|^{2}+2\cdot |{\boldsymbol {v}}_{1}|\cdot |{\boldsymbol {v}}_{2}|\cdot \cos \gamma }}$ [resp. v_d* =$\textstyle {\sqrt {v_{d,1}^{2}+v_{d,2}^{2}+2\cdot v_{d,1}\cdot v_{d,2}\cdot \cos \gamma }}$], pričom γ je uhol zvieraný vektormi v₁ a v₂ a cosγ = (v₁.v₂)/(|v₁|.|v₂|) [resp. cosγ = (v₁.v₂)/v_d1.v_d2)] , kde v₁.v₂ je skalárny súčin týchto dvoch vektorov. Ak chceme vo vzorci z nejakého dôvodu radšej použiť sin namiesto cos, tak treba využiť všeobecný vzťah cosγ = -sin(γ-90°).
• b) niektoré špeciálne prípady (teda špeciálne aplikácie vzorca z a) ):
  • vektory zvierajú pravý uhol (čiže γ = 90°): |v*| = $\textstyle {\sqrt {|{\boldsymbol {v}}_{1}|^{2}+|{\boldsymbol {v}}_{2}|^{2}}}$ [resp. v_d* =$\textstyle {\sqrt {v_{d,1}^{2}+v_{d,2}^{2}}}$], lebo cos90=0; zodpovedá to vlastne Pytagorovej vete
  • oba vektory majú rovnaký smer (čiže γ = 0° alebo 180°):
    • a majú aj rovnakú orientáciu (čiže γ = 0°): |v*| = |v₁| + |v₂| [resp. v_d*= v_d,₁ + v_d,₂], lebo cos0 =1 ($\textstyle {\sqrt {|{\boldsymbol {v}}_{1}|^{2}+|{\boldsymbol {v}}_{2}|^{2}+2\cdot |{\boldsymbol {v}}_{1}|\cdot |{\boldsymbol {v}}_{2}|}}$ =|v₁| + |v₂|)
    • a majú opačnú orientáciu (čiže γ = 180°): |v*| = |v₁| - |v₂| [resp. v_d*= v_d,₁ - v_d,₂] alebo |v*| = |v₂| - |v₁| [resp. v_d*= v_d,₂ - v_d,₁], lebo cos180=-1

Ak treba skladať viac než dva vektory, skladanie vykonáme postupne, a to v ľubovoľnom poradí

Vzorce rýchlosti pre rôzne druhy pohybov

Na úvod zhrnutie vzorcov potrebných či užitočných v naslejúcom texte (prvá časť vzorcov je opakovenia zhora a druhá časť vzorcov, teda vzorce pre pohyb po kružnici, je bližie vysvetlená ku koncu tohto článku resp. ešte bližšie v článku pohyb po kružnici):

• |v| = v_d = ds/dt (Toto s je konkrétne s_b, čiže môže byť aj záporné, takže vlastne presnejšie platí +/- |v|= v_d podľa toho, či pohyb prebieha v smere „číslovania“ krivočiarej súradnice s_b alebo v opačnom smere)
• |a_t| = d|v|/dt = a_d = dv_d/dt (Presnejšie platí +/-|a_t| = a_d podľa toho, či ide o pohyb zrýchlený alebo spomalený, čiže podľa toho či sú vektory v a a_t rovnako alebo opačne orientované)
• |a_n|= |v|²/R
• |a| =$\textstyle {\sqrt {|{\boldsymbol {a}}_{t}|^{2}+|{\boldsymbol {a}}_{n}|^{2}}}$
• v = |v|.τ
• a_t = |a_t|. τ = (d|v|/dt). τ
• a_n = |v|.(dτ/dt)
• a = a_t + a_n
• |v|= r.ω (r je polomer kružnice, a teda pri tomto type krivky zároveň veľkosť polohového vektora r; ω je (okamžitá) uhlová rýchlosť)
• |a_t|= r.α (α = dω/dt je (okamžité) uhlové zrýchlenie)
• |a_n| = r. ω² = |v|²/r
• v = ω x r (x tu značí vektorový súčin; ω je vektor (okamžitého) uhlového zrýchlenia)

Delenie pohybov je takéto (písmená A, B, C…označujú rôzne významy toho istého názvu) :

a) Podľa tvaru trajektórie

Podľa tvaru trajektórie (teda smeru a orientácie vektora rýchlosti τ), inak povedané podľa normálového zrýchlenia (a_n), rozlišujeme:

• priamočiary pohyb (t.j. pohyb po priamke): τ je konštatné, inak povedané: |a_n| =0
• krivočiary pohyb (t.j. pohyb po krivke, vrátane krivky v tvare kružnice): τ nie je konštantné, inak povedané: |a_n| ≠0 (v prípade rovnomerného pohybu po kružnici je možné špecifickejšie povedať, že |a_n| je konštatné)

Na označenie krivočiareho pohybu hmotného bodu okrem pohybu po kružnici je možné použiť aj výraz všeobecný pohyb, ale tento výraz sa v literatúre používa jednak častejšie pre pohyb telesa (a nielen hmotného bodu) a jednak čiastočne nejednotne (pozri rozlišovaciu stránku).

b) Podľa veľkosti tangenciálneho zrýchlenia

Vyjadrené pomocou „normálnych“ veličín

Podľa veľkosti tangenciálneho zrýchlenia (|a_t|; inak povedané podľa dráhového zrýchlenia (+/-) a_d) resp. podľa veľkosti rýchlosti (|v|; inak povedané podľa dráhovej rýchlosti (+/-)v_d) rozlišujeme:

	Iné názvy	Definícia	Veľkosť rýchlosti	Veľkosť tang. zrýchlenia	Veľkosť norm. zrýchlenia	Veľkosť zrýchlenia	Rýchlosť	Tang. zrýchlenie	Norm. zrýchlenie	Zrýchlenie	Krivočiara súradnica („dráha“)
			|v| (iná značka: v)	|at| (iná značka: at)	|an| (iná značka: an )	|a| (iná značka: a)	v	at	an	a	s
rovnomerný pohyb A	pohyb s konštantnou veľkosťou (vektora) rýchlosti	|v|= konšt. (čiže |at|=0)	konšt. (čiže |v|=|vd| = |vd,p|= |Δs|/Δt)	0	PP: 0, KP: ≠0 (kruh:konšt.)	PP: 0, KP: ≠0 (kruh: konšt.)	PP:konšt., KP:nekonšt.	00	PP:00 KP: nekonšt.,≠00	PP:00 KP:nekonšt.,≠00	nekonšt., s=s0+/-|v0|. Δt
nerovnomerný pohyb A	pohyb s nekonštantnou veľkosťou (vektora) rýchlosti, premenný pohyb A, zrýchlený/spomalený [či oneskorený] pohyb A	|v| = nekonšt. (čiže |at|≠0)	nekonšt. (čiže |v|≠ |Δs|/Δt)*	≠0	PP:0 KP:tnekonšt., ≠0	PP:≠0, KP:tnekonšt., ≠0	nekonšt.	PP:≠00, KP:nekonšt.,≠00	PP:00, KP:nekonšt.,≠00	PP:≠00, KP:tnekonšt., ≠00	nekonšt., s≠s0+/-|v0|. Δt
(i) rovnomerne premenný pohyb A	rovnomerne zrýchlený/spomalený [či oneskorený] pohyb A	|v| = nekonšt. (čiže |at|≠0), |v| je lineárna funkcia Δt (čiže |at|=konšt.)	nekonšt. (čiže |v|≠ |Δs|/Δt)*, |v| = |v0| +/-|at,0|.Δt (pre PP aj: |v| = |v0| +/-|a0|.Δt)	konšt. (čiže |at|=|Δ|v||/Δt), ≠0	PP:0, KP:tnekonšt., ≠0	PP:konšt. (čiže |a|=|Δ|v||/Δt),≠0, KP:tnekonšt., ≠0	nekonšt. (pre PP: v = v0 + at,0.Δt = v0 + a0.Δt)	PP:konšt. (čiže at = Δv/Δt), ≠00, KP:nekonšt., ≠00	PP:00, KP: nekonšt., ≠00	PP:konšt. (čiže a = Δv/Δt), KP:tnekonšt.,≠00	nekonšt., s=s0+/-|v0|. Δt +/-(1/2).|at,0|.Δt2 ***
(ii) nerovnomerne premenný pohyb A	nerovnomerne zrýchlený/spomalený [či oneskorený] /zrýchlený a spomalený pohyb A, nerovnomerný pohyb B	|v| = nekonšt. (čiže |at|≠0), |v| nie je lineárna funkcia Δt (čiže |at|=nekonšt.)	nekonšt. (čiže |v|≠ |Δs|/Δt)*, |v|≠ |v0| +/-|at,0|.Δt	nekonšt. . (čiže |at|≠|Δ|v||/Δt)**, ≠0	PP:0, KP:tnekonšt., ≠0	PP:nekonšt. (čiže |a|≠|Δ|v||/Δt)**,≠0, KP:tnekonšt., ≠0	nekonšt. (pre PP: v ≠ v0 + a(t,)0.Δt)	PP: nekonšt. (čiže at = Δv/Δt)****, ≠00 KP: nekonšt., ≠00	PP:00, KP: nekonšt., ≠00	PP:nekonšt. (čiže a= Δv/Δt)****, ≠00, KP:tnekonšt., ≠00	nekonšt., s≠s0+/-|v0|. Δt , s≠s0+/-|v0|. Δt +/-(1/2).|at,0|.Δt2

Vysvetlivky značiek v tabuľke:

• konšt = konštantné
• nekonšt. = nie je konštantné
• tnekonšt. = typicky nekonštantné, ledaže sa nekonštantné zložky danej veličiny (t.j. pri |a|: |a_t| a |a_n|, pri a: a_t a a_n a pri |a_n|: |v|² a R) vzájomne dopĺňajú tak, že ich výsledok je konštantný; napr. pri parabolickom pohybe (t.j. napr. pri šikmom vrhu) je takto konštatné a
• 00 =nulový vektor, čiže (0,0,0 ...)
• PP= priamočiary pohyb
• KP = krivočiary pohyb

Poznámky k tabuľke:
1.Ak je nejaká ľubovoľná veličina „z“ konštantná, tak samozrejme možno vždy pre ňu písať z = z₀, kde ₀ znamená v čase t₀, čiže ak je napr. |v|=konšt., tak platí aj |v|=|v₀|, ak je v = konšt., tak platí aj v = v₀ a pod.
2. Δt=t – t₀; Δs= s – s₀; Δ|v|=|v| -|v₀|
3.Samozrejme vždy platí, že:

• ak t₀=0, tak Δt=t (čiže namiesto Δt môžeme písať jednoducho t)
• ak s₀=0, tak Δs=s (čiže namiesto Δs môžeme písať jednoducho s)
• ak |v₀|=0, tak Δ|v|=|v| (čiže namiesto Δ|v| môžeme písať jednoducho |v|)

4. Znakom s sa v tejto tabuľke presnejšie myslí s_b (teda krivočiara súradnica). Preto sa vzorce v tabuľke pre s začínajú na “s₀ +/-“ (namiesto s₀ +) a v prvom riadku tabuľky je vo vzorci pre |v| použité „|v_d|” a „|v_d,p|“a “|Δs|” (namiesto v_d a v_d,p a Δs).To znamená, že v dôsledku toho, že sa v tejto tabuľke dôsledne chápe s ako s_b, je zápis vzorcov v tejto tabuľke v prípadoch uvedených v predchádzajúcej vete mierne odlišný od zápisu v predchádzajúcej tabuľke prehľadu rýchlostí, v ktorej sú (kvôli lepšej prehľadnosti) vzorce primárne zapísané pre s chápané ako s_a.
5. (*) Naďalej však samozrejme platí všeobecný vzorec |v|=|ds|/dt
6. (**) Naďalej však samozrejme platí všeobecný vzorec |a_t|= d|v|/dt (resp. |a|=d|v|/dt)
7. (***) Tento vzorec dostaneme dosadením vzorca |v|=|v₀|+/-|a_t,0|.Δt do vzorca $\textstyle s_{0}\pm \int \limits _{t_{0}}^{t}|{\boldsymbol {v}}|\,\mathrm {d} {\bar {t}}$ (ktorý vyplýva z |v|=|ds|/dt) a následným integrovaním.
8.(****) Naďalej však samozrejme platí všeobecný vzorec a_t= dv/dt (resp. a=dv/dt)

Vyjadrené pomocou uhlových veličín

Vyššie uvedené delenie sa dá pri pohybe po kružnici (resp. všeobecnejšie aj pre jednu oskulačnú kružnicu ľubovoľnej krivky, pričom potom ale píšeme R namiesto r) ekvivalentne vyjadriť aj pomocou uhlových veličín, čiže vznikne takéto delenie (porov. aj pohyb po kružnici):

Podľa uhlovej rýchlosti (ω, inak povedané: podľa veľkosti vektora uhlovej rýchlosti |ω|), resp. podľa uhlového zrýchlenia (α, inak povedané: podľa veľkosti vektora uhlového zrýchlenia |α|) rozlišujeme:

• rovnomerný pohyb A (iný názov: pohyb s konštantnou uhlovou rýchlosťou): ω je konštantné (čiže α=0)
• nerovnomerný pohyb A (iné názvy: pohyb s meniacou sa uhlovou rýchlosťou, premenný pohyb A, zrýchlený/spomalený [či oneskorený] pohyb A): ω je nekonštantné (čiže α ≠0)
  • I. rovnomerne premenný pohyb A (iné názvy: rovnomerne zrýchlený/spomalený [či oneskorený] pohyb A): ω je nekonštantné (čiže α ≠0) a α je konštantné, čiže ω je nekonštantné a ω = ω₀ +/- α₀.Δt
  • II. nerovnomerne premenný pohyb A (iné názvy: nerovnomerne zrýchlený/spomalený [či oneskorený]/zrýchlený a spomalený pohyb A, nerovnomerný pohyb B): ω = nekonštatné (čiže α ≠0) a α je nekonštantné, čiže ω je nekonštantné a ω ≠ ω₀ +/- α₀.Δt

c) Podľa celkového zrýchlenia

Podľa (vektora) celkového zrýchlenia (a) resp. podľa (vektora) rýchlosti (v) rozlišujeme:

• pohyb bez zrýchlenia (iný názov: nezrýchlený pohyb, pohyb s konštantnou (vektorovou) rýchlosťou, nevhodne : rovnomerný pohyb B): a je nulový vektor (čiže v je konšt.)– sem patrí iba priamočiary rovnomerný pohyb A (pri ňom je mimochodom |v| konštatné)
• pohyb so zrýchlením (iné názvy: zrýchlený/spomalený [či oneskorený] pohyb B, premenný pohyb B, pohyb s nekonštantnou (vektorovou) rýchlosťou, nevhodne: nerovnomerný pohyb C): a je nenulový vektor (čiže v je nekonštantné) – sem patrí krivočiary rovnomerný pohyb A a všetky nerovnomerné pohyby A:
  • pohyb s konštantným zrýchlením (iný názov: rovnomerne premenný pohyb B, rovnomerne zrýchlený/spomalený [či oneskorený]) pohyb B): a je konštantné a nenulový vektor (čiže v = v₀ +a₀.Δt a je nekonštantné); |v| je mimochodom nekonštantné – sem patrí priamočiary rovnomerne premenný pohyb A a parabolický pohyb (napr. šikmý vrh, čo je druh krivočiareho nerovnomerne premenného pohybu A)
  • pohyb s nekonštantným zrýchlením (iné názvy: nerovnomerne premenný pohyb B, nerovnomerne zrýchlený/spomalený [či oneskorený]/ zrýchlený a spomalený pohyb B, nerovnomerný pohyb D): a je nekonštantné a nenulový vektor (čiže v ≠ v₀ +a₀.Δt a je nekonštantné); |v| je mimochodom pri krivočiarom rovnomernom pohybe konštantné, inak je nekonštantné

Ako vidno z delení b) a c), rýchlosť teda možno rozdeliť podľa kritéria “zrýchlenie” dvoma spôsobmi – buď podľa dráhového zrýchlenia a_d (resp. veľkosti vektora tangenciálneho zrýchlenia |a_t|), alebo podľa vektora celkového zrýchlenia a.

V tomto článku sa vyššie uvedené termíny ďalej primárne používajú vo významoch tu označených ako “A”.

Vzorce rýchlosti pre špecifické typy pohybov

Najznámejšie špecifické typy pohybov hmotných bodov sú pohyb v homogénnom tiažovom poli planéty Zem vo vákuu a pohyb po kružnici

Pohyb v homogénnom tiažovom poli planéty Zem vo vákuu

Pohyb v homogénnom tiažovom poli Zeme vo vákuu znamená, že kdekoľvek na Zemi či nad Zemou platí, že a = g = konšt., čiže vektor zrýchlenia sa rovná vektoru tiažového zrýchlenia Zeme (g) a je konštantný. Z rovnice pre pohyb s konštantným zrýchlením (v = v₀ + a₀.Δt) teda dostaneme v = v₀ + g.Δt. Okrem toho v tomto článku volíme súradnicovú sústavu v takej podobe, že x-ová os je na povrchu Zeme a y-ová os smeruje kolmo nahor do vesmíru, čiže g = (0,-g,0), pričom g (=|g|) je tiažové zrýchlenie. . Tento druh pohybu delíme na voľný pád a vrh:

Voľný pád

Voľný pád je definovaný tak, že hmotný bod padá (v homogénnom tiažovom poli Zeme vo vákuu) zvislo nadol a nemá udelenú začiatočnú rýchlosť, teda v₀=0. Ide o príklad rovnomerne zrýchleného priamočiareho pohybu. Po dosadení do vzorcov pre rovnomerne zrýchlený priamočiary pohyb (v = v₀ + a_t0.t a v_d = v_d,0 + a₀.t) dostaneme: v =g.t a v_d = -g.t (nižšie budeme pre voľný pád presnejšie používať označenia v_g a v_d,g). Niekedy sa voľný pád klasifikuje ako špeciálny prípad vrhu (pozri nižšie), keďže ide vlastne o vrh s v₀=0.

Vrh

Vrh je definovaný tak, že hmotný bod je hodený (v homogénnom tiažovom poli Zeme vo vákuu) ľubovoľným smerom s určitou začiatočnou rýchlosťou, teda v₀≠0. Ak je vrh zvislý, jeho trajektória je priamka (t.j. ide o priamočiary pohyb) a pohyb je rovnomerne premenný; v ostatných prípadoch vrhu (teda pri vodorovnom alebo šikmom vrhu) je trajektória časť paraboly (t.j. ide o krivočiary pohyb) a ide o nerovnomerne premenný pohyb (teda |a_t|, a tým aj a_t, sa mení), ale zároveň pohyb s konštantným (celkovým) zrýchlením (teda a je konštantné, lebo sa rovná g). Aby bol výpočet jednoduchší, súradnicovú sústavu volíme tak, že celý vrh prebieha v rovine x-y (súradnica z je teda nulová). Môžeme rozlíšiť tieto prípady:

• a) všeobecný prípad (t.j. šikmý vrh): v₀ je vektor rýchlosti v smere a orientácii hodenia hmotného bodu, jeho veľkosť je konštantná hodnota v_d,0.Uhol zvieraný (smerom nahor) medzi medzi v₀ a vodorovnou čiarou nazveme elevačný uhol a označíme α (Pozor na zámenu so znakom α ako symbolom uhlového zrýchlenia). Jedna možnosť riešenia je dosadiť (zo vzťahov v trojuholníku vyplývajúce) v₀= (|v₀|.cosα, |v₀|.sinα, 0)= (v_d,0.cosα, v_d,0.sinα, 0) do vzorca v =v₀ + g.Δt a potom vypočítať v_d = |v| s použitím klasického vzorca pre normu vektora. Druhá možnosť je vykonať skladanie vektorov v₀ a v_g (v_g =g.Δt, v_d,g = -g.Δt) s použitím vzorca pre skladanie vektorov rýchlostí (teda v_d* = $\textstyle {\sqrt {v_{d,1}^{2}+v_{d,2}^{2}\pm 2\cdot v_{d,1}\cdot v_{d,2}\cdot \cos \gamma }}$, pričom α= γ-90° a teda cosγ = -sin α, kde γ je uhol medzi v₀ a v_g). Výsledné v_d bude pri oboch postupoch v_d=$\textstyle {\sqrt {v_{d,0}^{2}+g^{2}\cdot \Delta t^{2}+2\cdot v_{d,0}\cdot g\cdot \Delta t\cdot \sin \alpha }}$.
• b) niektoré špeciálne prípady (teda špeciálne aplikácie šikmého vrhu):
  • vodorovný vrh (čiže α = 0): v_d= $\textstyle {\sqrt {v_{d,0}^{2}+g^{2}\cdot \Delta t^{2}}}$
  • zvislý vrh:
    • nahor (čiže α = 90°):v_d = v_d,0 –g.Δt
    • nadol (čiže α = 270° resp. -90°): v_d = -v_d,0 –g.Δt

Pri zvislom vrhu (keďže je pri ňom – na rozdiel od šikmého a vodorovného vrhu – je |a_t| konštantné) možno k uvedenému výsledku dospieť alternatívne tak, že (s patričným prihliadnutím na správne znamienka) dosadíme g do rovnice pre rovnomerne premenný pohyb, teda v_d = v_d,0 - |a_d,0|t resp. v_d = v_d,0 + a_d,0.Δt.

Pohyb po kružnici

Pohyb po kružnici (nazývaný aj kruhový pohyb) je druh krivočiareho pohybu – je to taký (rovinný) krivočiary pohyb, pri ktorom trajektória má tvar kružnice. V tomto kontexte rozlišujeme medzi (“normálnou”) rýchlosťou, (“normálnym”) zrýchlením a (“normálnou”) dráhou na jednej strane a uhlovou rýchlosťou, uhlovým zrýchlením a uhlovou dráhou na strane druhej. Tieto “normálne” veličiny na odlíšenie od uhlových v tomto kontexte voláme aj obvodové (t.j. obvodová rýchlosť, obvodové zrýchlenie a obvodová dráha).

Opis pohybu po kružnici má širší význam než sa na prvý pohľad môže zdať, pretože (takmer) ľubovoľný krivočiary pohyb sa dá opísať tak, že ku krivke pohybu (teda trajektórii) v danom bode priložíme kružnicu, ktorá túto krivku v danom “záhybe” krivky čo najlepšie aproximuje (tzv. oskulačná kružnica) a potom počítame pomocou údajov pre túto kružnicu (existujú však pochopiteľne aj iné metódy opisu krivočiareho pohybu). Okrem toho v kontexte pohybu nie jedného hmotného bodu, ale nejakého celého telesa (presnešie tzv. dokonalého tuhého telesa, teda tvarovo nemennej sústavy hmotných bodov) tvorí pohyb po kružnici základ analýzy tzv. otáčavého pohybu telesa (napríklad pohyb listu vrtule).

Nasleduje len základný prehľad vzorcov, podrobnosti a odvodenia sú uvedené v článku pohyb po kružnici:

Všeobecný prípad

Symboly a vzorce platné všeobecne pre akýkoľvek pohyb po kružnici:

• stred kruhu je na zjednodušenie výkladu stotožnený s počiatkom karteziánskej súradnicovej sústavy
• r je polomer kružnice (|r|=r)
• ϕ = |ϕ| je polohový uhol (iné názvy: uhlová súradnica, uhol otáčania) resp. uhlová dráha
• ϕ je vektor polohového uhla; jeho smer je vždy kolmý na rovinu x-y (teda rovinu otáčania)
• ω = dϕ/dt =|ω| je (okamžitá) uhlová rýchlosť,
• ω = dϕ/dt = (1/r²).(r x v) je vektor (okamžitej) uhlovej rýchlosti; jeho smer je vždy kolmý na rovinu x-y (teda rovinu otáčania)
• α = dω/dt = d²ϕ/dt = |α| je (okamžité) uhlové zrýchlenie (alternatívne sa značí: ɛ)
• α = dω/dt = d²ϕ/dt =(1/r²).(r x a) je vektor (okamžitého) uhlového zrýchlenia (alternatívne sa značí: ɛ); jeho smer je vždy kolmý na rovinu x-y (teda rovinu otáčania)
• τ =(-sinϕ, cosϕ)
• τ_n =(-cosϕ, -sinϕ) je jednotkový vektor v smere a_n (tzv. normálový jednotkový vektor) a teda aj v smere opačnom než r (čiže a_n =|a_n|.τ_n a r=-|r|. τ_n = -r. τ_n)
• s= s₀+r.(ϕ- ϕ₀)
• |v|=r.ω (presnejšie: |v| = |r.ω|)
• |a_t|= r.α (presnejšie: |a_t|= |r.α|)
• |a_n|=r. ω²=|v|²/r
• |a|=r.√(α^2+ω^4 )
• r=(r.cosϕ, r.sinϕ)
• v=ω x r
• a_t= r.α.τ (presnejšie: |r.α|. τ)
• a_n =|a_n|.τ_n
• a=|a_t|.τ + |a_n|.τ_n

Podtypy

Rovnomerný pohyb po kružnici

Definícia:

• z hľadiska uhlových veličín: ω je konštantné (inak povedané α = 0)
• z hľadiska obvodových veličín: |v| je konštantné (inak povedané |a_t|=0) [a |a_n| je konštantné]

Vzorce pre skalárne veličiny:

• uhlové:
  • ϕ = ϕ₀ + ω₀.Δt
  • ω = ω₀
  • α=0
• obvodové:
  • s = s₀ + r. ω₀.Δt (presnejšie: s=s₀+/-r.ω₀.Δt)
  • |v|=r.ω₀
  • |a_t|=0
  • |a_n|=r. ω₀²
  • |a| = |a_n|

Rovnomerne premenný pohyb po kružnici

Definícia:

• z hľadiska uhlových veličín: α je konštantné a ω je nekonštantné (inak povedané: α ≠ 0)
• z hľadiska obvodových veličín: |a_t| je konštantné a |v| je nekonštantné (inak povedané|a_t| ≠0)

Vzorce pre skalárne veličiny:

• uhlové:
  • ϕ = ϕ₀ + ω₀.Δt + (1/2).α₀.Δt²
  • ω = ω₀ +α₀.Δt = ((ω₀²-2.α₀.ϕ₀) + 2.α₀. ϕ)^1/2
  • α= α₀≠0
• obvodové:
  • s = s₀ + r. ω₀.Δt + (1/2).r.α₀.Δt (presnejšie: s = s₀ +/- r. ω₀.Δt +/- (1/2).r.α₀.Δt)
  • |v| = r(ω₀+ α₀.Δt) (presnejšie: |v| = |r(ω₀+ α₀.Δt)|)
  • |a_t|= r. α₀ (presnejšie: |a_t|= |r.α₀|)
  • |a_n| =r.(ω₀ +α₀.Δt)²
  • |a| = $\textstyle r\cdot {\sqrt {a_{0}^{2}+(\omega _{0}+\alpha _{0}\cdot \Delta t)^{4}}}$

Nerovnomerne premenný pohyb po kružnici

Definícia:

• z hľadiska uhlových veličín: α je nekonštantné a ω je nekonštantné (inak povedané: α ≠ 0)
• z hľadiska obvodových veličín: |a_t| je nekonštantné a |v| je nekonštantné (inak povedané|a_t| ≠0)

Inak povedané: ide o každý pohyb po kružnici, ktorý nie je ani rovnomerný pohyb po kružnici, ani rovnomerne premenný pohyb po kružnici.

Vzorce pre skalárne veličiny:

• uhlové:
  • ϕ ≠ ϕ₀ + ω₀.Δt; ϕ ≠ ϕ₀ + ω₀.Δt + (1/2).α₀.Δt²
  • ω ≠ ω₀; ω ≠ ω₀ +α₀.Δt, čiže ω ≠ ((ω₀²-2.α₀.ϕ₀) + 2.α₀. ϕ)^1/2
  • α ≠0; α ≠ α₀
• obvodové:
  • s ≠ s₀ + r. ω₀.Δt (presnejšie: s≠s₀+/-r.ω₀.Δt); s ≠ s₀ + r. ω₀.Δt + (1/2).r.α₀.Δt (presnejšie: s ≠ s₀+/-r.ω₀.Δt+/-(1/2).r.α₀.Δt)
  • |v| ≠ |v₀|; |v| ≠ r(ω₀+ α₀.Δt) (presnejšie: |v| ≠ |r(ω₀+ α₀.Δt)|)
  • |a_t|≠0;|a_t| ≠ r. α₀ (presnejšie |a_t| ≠ |r. α₀|)
  • |a_n|≠ r. ω₀²; |a_n|≠r.(ω₀ +α₀.Δt)²
  • |a|≠ |a_n|; |a| ≠ $\textstyle r\cdot {\sqrt {a_{0}^{2}+(\omega _{0}+\alpha _{0}\cdot \Delta t)^{4}}}$