Abstraktná algebra

Abstraktná algebra je oblasť matematiky, ktorá študuje algebrické štruktúry ako sú grupy, okruhy, polia, moduly, vektorový priestor a algebry. Väčšina autorov v súčasnosti jednoducho píše algebra namiesto abstraktná algebra.

Termín abstraktná algebra sa dnes vzťahuje na štúdium všetkých algebrických štruktúr na rozdiel od elementárnej algebry zvyčajne vyučovanej v školách, ktorá učí správne pravidlá pre manipulačné vzorce a algebrické výrazy obsahujúce reálne a komplexné čísla a neznáme. Elementárnu algebra možno považovať za neformálny úvod do štruktúr známych ako reálne pole a komutatívna algebra.

Súčasná matematika a matematická fyzika intenzívne používajú abstraktnú algebru; napríklad teoretická fyzika čerpá z Lieových algebier. Oblasti ako algebrická teória čísel, algebrická topológia a algebrická geometria aplikujú algebrické metódy do iných oblastí matematiky. Teória reprezentácií, zjednodušene povedané, berie 'abstrakt' von z 'abstraktnej algebry', študujúc konkrétnu stránku danej štruktúry; pozrite modelová teória.

Dve matematické oblasti študujúce vlastnosti algebrických štruktúr chápaných ako celok sú univerzálna algebra a teória kategórií. Algebrické štruktúry spolu s asociovanými homomorfizmami tvoria kategórie. Teória kategórií je silný formalizmus na štúdium a porovnávanie rôznych algebrických štruktúr.

Dejiny a príklady

Veľa základných algebrických štruktúr vzniklo najprv neformálne v iných oblastiach matematiky. Axiómy a primitívne operácie boli navrhnuté neskôr, čím sa štruktúra stala časťou abstraktnej algebry. Týmto spôsobom má abstraktná algebra veľa plodných spojení so všetkými ostatnými oblasťami matematiky.

Formálne definície určitých algebrických štruktúr začali vznikať v 19. storočí. Abstraktná algebra vznikla začiatkom 20. storočia pod názvom moderná algebra. Jej štúdium bolo súčasťou snahy o vyššiu intelektuálnu prísnosť v matematike. Zo začiatku predpoklady v klasickej algebre, od ktorých celá matematika (a hlavné časti prírodných vied) závisia, mali podobu axiomatických systémov. Preto oblasti ako teória grúp a teória okruhov zaujali miesto v čistej matematike.

Príklady algebrických štruktúr s jedinou binárnou operáciou sú:

• grupoid,
• kvázigrupa,
• monoid, pologrupa a najdôležitejšia - grupa.

Komplikovanejšie príklady sú:

• okruh a pole
• modul a vektorový priestor
• algebra nad poľom
• asociatívna algebra a Lieova algebra
• sieťová a Boolova algebra

Príklady pozri pod algebrické štruktúry.

Príklad

Abstraktná algebra podporuje štúdium vlastností a štruktúr, ktoré sa jasne odlišujú od matematických konceptov vo všeobecnosti. Napríklad uvažujme rôzne operácie skladanie funkcií - zloženej funkcie f(g(x)), a maticové násobenie AB. Tieto 2 operácie majú fakticky rovnakú štruktúru. Na dôkaz uvažujte násobenie dvoch štvorcových matíc AB jedným stĺpcovým vektorom x. To definuje funkciu ekvivalentnú k skladaniu Ay s Bx: Ay = A(Bx) = (AB)x. Funkcie pod skladaním a matice pod násobením sú príklady monoidov. Množina S a binárna operácia z S označená zreťazením tvoria monoid, ak operácia asociuje, (ab)c = a(bc), a ak tu existuje e z S, že platí ae = ea = a.

Pozri aj

• algebrická štruktúra
• univerzálna algebra
• teória kategórií
• Algebrická geometria

Referencie (po anglicky)

• Sethuraman, B. A.. Rings, Fields, Vector Spaces, and Group Theory: An Introduction to Abstract Algebra via Geometric Constructibility. [s.l.] : Springer, 1996. ISBN 0-387-94848-1.
• Jimmie Gilbert, Linda Gilbert. Elements of Modern Algebra. [s.l.] : Thomson Brooks/Cole, 2005. ISBN 0-534-40264-X.
• R.B.J.T. Allenby. Rings, Fields and Groups. [s.l.] : Butterworth-Heinemann, 1991. ISBN 0-340-54440-6.
• C. Whitehead. Guide2 Abstract Algebra (2nd edition). [s.l.] : [s.n.], 2002. ISBN 0-333-79447-8;.

Monografia zadarmo online:

• Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, H. P., 1981. A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.