Asociatívnosť

Asociatívnosť je v algebre vlastnosť binárnej operácie, spočívajúca v tom, že nezáleží, ako použijeme zátvorky pri výraze, kde je viac operandov, alebo v akom poradí budeme výraz počítať.

Definícia

Binárna operácia * je na množine S asociatívna, ak platí:

\forall x,y,z\in S\qquad (x*y)*z=x*(y*z).

Príklady

Najznámejšie príklady asociatívnych binárnych operácií sú sčítanie (a+b) a násobenie (a.b) reálnych čísel.

(2+3)+8=5+8=13=2+11=2+(3+8)

(7\cdot 3)\cdot 2=21\cdot 2=42=7\cdot 6=7\cdot (3\cdot 2)

Ďalšie ukážky asociatívnych binárnych operácií sú napríklad: sčítanie a násobenie komplexných čísel, sčítanie vektorov, prienik a zjednotenie množín.

Medzi binárne operácie, ktoré nie sú asociatívne, patrí napríklad odčítanie (a-b), delenie (a:b) a umocňovanie (a^b) čísel alebo vektorové násobenie vektorov.

2-(3-1)=0\quad \neq \quad -2=(2-3)-1

.

2^{(2^{3})}=2^{8}=256\quad \neq \quad 64=4^{3}=(2^{2})^{3}

Pri neasociatívnych operáciách je potrebné buď dôsledne používať zátvorky, alebo sa dohodnúť na implicitnom poradí vykonávaných operácií - potom sa niekedy hovorí o operáciách asociatívnych zľava alebo asociatívnych sprava. Z uvedených príkladov je odčítanie ľavo asociatívne, výraz $10-5-3$ sa chápe ako $(10-5)-3$ , naopak umocňovanie je asociatívne sprava, $2^{3^{4}}=2^{\left(3^{4}\right)}$ (pretože ľavá asociativita by nebola pri umocňovaní bola užitočná - rovnaký výsledok sa dá vďaka pravidlám pre mocniny zapísať pomocou súčinu exponentov: $(2^{3})^{4}=2^{3\cdot 4}$ ).