Bézierova krivka

Bézierova krivka je jednou z mnohých parametrických kriviek. Umožňuje interaktívne vytváranie a modifikáciu svojho tvaru. Pomocou Bézierovej krivky je možno reprezentovať aj interpolačné krivky (existujú napríklad algoritmy na prevod medzi interpolačnými spline kubikami a B-spline kubikami resp. Bézier kubikami).

Definícia

Bézierova krivka n-tého stupňa pre n+1 zadaných kontrolných bodov, ktoré tvoria tzv. riadiaci polygón, je pre $t\in <0,1>$ definovaná ako

C(t)=\sum _{i=0}^{n}B_{i,n}(t)P_{i}

,

pričom $B_{i,n}(t)$ je i-tý Bernsteinov polynóm n-tého stupňa:

B_{i,n}(t)={\binom {n}{i}}t^{i}(1-t)^{n-i}

Bernsteinove polynómy tvoria bázu vektorového priestoru polynómu a spĺňajú rekurentný vzorec:

$B_{i,n}(t)=(1-t)\cdot B_{i,n-1}(t)+t\cdot B_{i-1,n-1}(t)$ ,

navyše $B_{i,n}=0\ \forall \ (i<0)\lor (i>n)$ , ďalej $B_{0,0}=1$ . Je tak možný stabilný číselný rekurzívny výpočet hodnoty Bézierovej krivky pomocou Casteljauho algoritmu:

{\begin{aligned}C_{i}^{0}(t)&=P_{i}\\C_{i}^{j}(t)&=(1-t)C_{i}^{j-1}(t)+tC_{i+1}^{j-1}(t){\begin{cases}j=1,...,n\\i=0,...,n-j.\end{cases}}\end{aligned}}

Zdroj

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Bézierova křivka na českej Wikipédii (číslo revízie nebolo určené).

Iné projekty

Commons ponúka multimediálne súbory na tému Bézierova krivka