Beta funkcia

Beta funkcia (iné názvy: B-funkcia, funkcia beta, Eulerov integrál prvého druhu) je špeciálny typ funkcie využívaný v matematike.

Definícia

Funkciu definovanú pre $x>0$ a $y>0$ nasledovným predpisom:

${\begin{array}{lcl}B(x,y)=\operatorname {\int } _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,\mathrm {d} t\end{array}}$

nazývame beta funkcia alebo Eulerov integrál prvého druhu.

Funkciu beta môžeme definovať aj pomocou gama funkcie, a to nasledovne:

$B(x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}$

Dôležité vzťahy a vlastnosti

Niektoré dôležité vzťahy a vlastnosti, ktoré platia pre beta funkciu:

• beta funkcia je symetrická, teda:

$\operatorname {B} (x,y)=B(y,x)$

• $B(x,y)={\frac {y-1}{x+y-1}}B(x,y-1)$
• $B(x,n)={\frac {(n-1)!}{x(x+1)(x+2)+\cdots +(x+n+1)}}$ pre $n=1,2,\cdots$
• $B(x,y)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,\mathrm {d} t$
• $B(x,1-x)={\frac {\pi }{sin(\pi x)}}$ pre $x\in (0,1)$

Zdroj

• BARNOVSKÁ, Mária, kol. Cvičenia z matematickej analýzy III.. [s.l.] : MFF UK, 2005. Dostupné online. Kapitola Parametrické integrály – Eulerove integrály, s. 156.