Bod (geometria)

Bod je bezrozmerný základný geometrický útvar.

Značenie

Bod sa v geometrii podľa všeobecného úzu označuje veľkým tlačeným písmenom latinskej abecedy v základnom typografickom reze písma a graficky sa najčastejšie znázorňuje znakom plus ${\textstyle +^{\text{A}}}$ alebo znakom krát ${\textstyle \times ^{\text{A}}}$ , ktoré tvarom pripomínajú prienik dvoch priamok. Takto sa označujú hlavne samostatne stojace body. Menej často, napríklad ako bod, v ktorom sa dotýkajú priamky a iné geometrické objekty, sa používa ako znak bodu malý kruh ${\textstyle \circ ^{\text{A}}}$ alebo ${\textstyle \bullet ^{\text{A}}}$ .

Algebrický zápis

Algebricky je každý bod pevne určený $N$ súradnicami, kde $N$ je rozmer priestoru, v ktorom sa nachádza. Napríklad v trojrozmernom priestore je bod pevne daný troma súradnicami, v dvojrozmernom priestore je bod určený dvoma súradnicami.

Vlastnosti

Všetky geometrické útvary sú definované ako množina bodov.

Bod môžeme tiež považovať za úsečku s nulovou dĺžkou.

Bod v euklidovskej geometrii

V euklidovskom priestore ${\textstyle \mathbb {R} ^{0}}$ (bod), ktorý je bezrozmerný a bezsúradnicový, vypĺňa bod celý takýto priestor.

V priestore ${\textstyle \mathbb {R} ^{1}}$ (priamka) je bod definovaný jednou súradnicou ${\textstyle x}$ , ktorá môže mať zápornú, nulovú alebo kladnú hodnotu v intervale ${\textstyle \langle -\infty ,+\infty \rangle }$ . Priestor je rozdelený bodom so súradnicou ${\textstyle x=0}$ na dve časti, kladnú a zápornú. Vzdialenosť dvoch bodov je potom

$d=x_{b}-x_{a}$ .

V priestore ${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ (rovina) je bod definovaný usporiadanou množinou dvoch súradníc ${\textstyle x}$ a ${\textstyle y}$ , ktoré môžu nadobúdať záporné, nulové alebo kladné hodnoty v intervale ${\textstyle \langle -\infty ,+\infty \rangle }$ . Priestor je rozdelený x-ovou a y-ovou osou na štyri časti, kvadranty I. až IV. Vzdialenosť dvoch bodov je potom

$d={\sqrt {(x_{b}-x_{a})^{2}+(y_{b}-y_{a})^{2}}}$ .

V priestore ${\textstyle \mathbb {R} ^{3}}$ (objem) je bod definovaný usporiadanou množinou troch súradníc ${\textstyle x}$ , ${\textstyle y}$ a ${\textstyle z}$ , ktoré môžu nadobúdať záporné, nulové alebo kladné hodnoty v intervale ${\textstyle \langle -\infty ,+\infty \rangle }$ . Priestor je rozdelený rovinami na osem častí, oktanty I. až VIII. Vzdialenosť dvoch bodov je potom