D’Alembertov operátor

D'Alembertov operátor alebo d'Alembertián je diferenciálny operátor nazvaný podľa Jeana Le Rond d'Alemberta. Je to špeciálny prípad Laplaceovho operátora pre štvorrrozmerný Minkowského priestor s metrikou $\operatorname {diag} (-1,1,1,1)$. Značí sa symbolom $\square$. Využíva sa v špeciálnej teórii relativity a elektromagnetizme.

d'Alembertov operátor v karteziánskych súradniciach je rovný

$\square f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial (x_{1})^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial (x_{2})^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial (x_{3})^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}f}{\partial (x_{0})^{2}}},$

alebo špeciálne pri použití súradníc (t,x,y,z)

$\square f=\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {t}^{2}}},$

V látkovom prostredí sa niekedy používa definícia

$\square f=\Delta f-\mu \varepsilon {\frac {\partial ^{2}f}{\partial {t}^{2}}}=\Delta f-{\frac {N^{2}}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {t}^{2}}},$

kde $\mu ,\varepsilon$ sú magnetická permeabilita a elektrická permitivita daného materiálu a N je jeho index lomu.