Diferenciálna rovnica

Diferenciálna rovnica je matematická rovnica, v ktorej ako premenné vystupujú derivácie funkcií. Diferenciálne rovnice tvoria základy fyzikálnych výpočtov a sú používané vo väčšine oblastí ľudského poznania (pozri napríklad Schrödingerovu rovnicu).

Definícia

Diferenciálnou rovnicou nazývame každú rovnicu, ktorá je zapísateľná v tvare
$F\left(x,y,y',\cdots ,y^{(n)}\right)=0$
Rovnica teda obsahuje premenné, funkcie, konštanty i derivácie funkcií. Podľa stupňa derivácie, ktorú rovnica obsahuje rozlišujeme rády diferenciálnych rovníc.

Druhy diferenciálnych rovníc

Základné rozdelenie diferenciálnych rovníc je podľa typu obsiahnutých derivácii:

• obyčajné diferenciálne rovnice (skr. ODR alebo ODE) — rovnice obsahujúce derivácie len podľa jednej premennej.
• parciálne diferenciálne rovnice (skr. PDR alebo PDE) — obsahujú derivácie podľa viacerých premenných.
• stochastické diferenciálne rovnice (skr. SDR alebo SDE) — rovnice zahŕňajúce najmenej jeden stochastický proces
• diferenciálne algebrické rovnice (skr. DAE) — diferenciálne rovnice, v ktorých sa nachádzajú aj čisto algebrické vedľajšie podmienky.

Rád diferenciálnej rovnice

Rád diferenciálnej rovnice je rád najvyššej derivácie, ktorá je v nej obsiahnutá.

Matematická teória diferenciálnych rovníc sa zaoberá existenciou riešení, jednoznačnosťou riešení, závislosťou riešení na počiatočných a krajných podmienkach.

Vo fyzike a ďalších aplikáciách je zaujímavé najmä získanie analytického riešenia, teda napríklad funkcie $x(t)$, ktorá rovnicu rieši. Ak taká funkcie nejde analyticky vyjadriť, potom je nutné numerické riešenie diferenciálnych rovníc.

Príklady

1. príklad

Typickým príkladom diferenciálnej rovnice prvého rádu je rovnica
$x'\left(t\right)+x\left(t\right)=0$
kde pod $x'(t)$ rozumieme deriváciu funkcie $x(t)$. Rovnica sa rieši ekvivalentnými úpravami. Z rovnice sa snažíme vyjadriť funkciu $x(t)$:
${\begin{array}{rcl}{\dfrac {{\textrm {d}}x(t)}{{\textrm {d}}t}}+x(t)&=&0\\{\dfrac {{\textrm {d}}x(t)}{{\textrm {d}}t}}&=&-x(t)\\{\dfrac {{\textrm {d}}x(t)}{x(t)}}&=&-{\textrm {d}}t\end{array}}$

Rovnica je upravená. Použili sme tzv. separovanie premenných. K finálnemu tvaru riešenia dospejeme integrovaním oboch strán rovnice:

$\int {\dfrac {{\textrm {d}}x(t)}{x(t)}}=-\int {\textrm {d}}t$

Poznámka: Integrály daných funkcií počítame podľa tabuľkových integrálov:

$\int {\dfrac {{\textrm {d}}x(t)}{x(t)}}=\ln(x(t))$
$-\int {\textrm {d}}t=-t+\ln |C|$

Poznámka: Konštanta C je vyjadrená v logaritme. Konštanta sa píše v tvare, v akom je funkcia $x(t)$

Teraz vypočítané integrály dosadíme a vyjadríme funkciu $x(t)$:

${\begin{array}{rcl}\ln(x(t))&=&-t+\ln |C|\\\ln x(t)-\ln |C|&=&-t\\\ln {\dfrac {x(t)}{|C|}}&=&-t\\{\textrm {e}}^{-t}&=&{\dfrac {x(t)}{|C|}}\\x(t)&=&|C|\cdot {\textrm {e}}^{-t}\end{array}}$
V tomto riešení sa vyskytuje konštanta, ktorú sme schopní dopočítať zo začiatočných podmienok. Obvykle sa zadáva začiatočná podmienka $x(0)$.

2. príklad

Riešme diferenciálnu rovnicu $y'(x)={\frac {y(x)}{x}}$ bez začiatočných podmienok. Opäť ako v prvom príklade, aj tu sa snažíme separovať premenné tým spôsobom, že $y(x)$ oddelíme na jednu stranu a ostatné na druhú:

${\begin{array}{rcl}{\dfrac {{\textrm {d}}y(x)}{{\textrm {d}}x}}&=&{\dfrac {y(x)}{x}}\\{\dfrac {{\textrm {d}}y(x)}{y(x)}}&=&{\dfrac {{\textrm {d}}x}{x}}\end{array}}$

Premenné sú oddelené, môžeme integrovať $\int \limits {\dfrac {{\textrm {d}}y(x)}{y(x)}}=\int {\dfrac {{\textrm {d}}x}{x}}$ a dostaneme rovnicu:

${\begin{array}{rcl}\ln y(x)&=&\ln x+\ln |C|\\\ln y(x)&=&\ln |C|\cdot x\\y(x)&=&|C|\cdot x\end{array}}$

Softvér

• ExpressionsinBar
• Maple: dsolve
• SageMath
• Xcas: desolve(y'=k*y,y)