Diskriminant (matematika)

Diskriminant prislúchajúci polynómu je číslo, ktoré je súčasťou riešenia, respektíve hľadania koreňov polynómu. Diskriminantom sa zväčša myslí diskriminant kvadratickej rovnice. Diskriminanty polynómov vyšších rádov než kvadratických sú obtiažnejšie zapamätateľné pre svoj zložitý predpis.

Nech je daná kvadratická rovnica vo všeobecnom tvare $ax^{2}+bx+c=0$. Jej diskriminant je číslo $D$ dané predpisom

$D=b^{2}-4ac\,;\;a,b,c\in \mathbb {R} ,a\neq 0$

Diskriminant a korene kvadratického polynómu

Hodnota diskriminantu veľa napovie o charaktere koreňov. Môžu nastať tri situácie, kde diskriminant nadobúda kladnú, zápornú alebo nulovú hodnotu. Ak je diskriminant kladný, korene polynómu môžeme písať v tvare

$D>0\Rightarrow x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}$

V prípade záporného diskriminantu sú korene kvadratického polynómu komplexné čísla, pričom jeden koreň je komplexne združený k druhému, teda

$D<0\Rightarrow x_{1,2}={\frac {-b\pm \mathrm {i} {\sqrt {|D|}}}{2a}}$

Teda ak sa predpokladá záporný diskriminant, vzorec pre korene možno jednoducho odvodiť z vlastností imaginárnej jednotky nasledovne
${\frac {-b\pm {\sqrt {-|D|}}}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {\mathrm {i} ^{2}|D|}}}{2a}}={\frac {-b\pm \mathrm {i} {\sqrt {|D|}}}{2a}}$

V poslednom prípade nulového diskriminantu ide o jeden dvojnásobný koreň

$D=0\Rightarrow x=-{\frac {b}{2a}}$

Odvodenie vzťahu pre diskriminant

Odvodenie vychádza z jednoduchej úpravy na úplný štvorec a v osamostatnení neznámej $x$:

${\begin{array}{rcl}ax^{2}+bx+c&=&0\\4a^{2}x^{2}+4abx+4ac&=&0\\(2ax+b)^{2}-b^{2}+4ac&=&0\\(2ax+b)^{2}&=&D\\|2ax+b|&=&{\sqrt {D}}\\x_{1,2}&=&{\dfrac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}\end{array}}$

Pozri aj

• Kvadratická rovnica