Fibonoriál

Fibonoriál je v matematike druh faktoriálu, ktorý je definovaný ako súčin prvých ${\textstyle n}$ prvkov Fibonacciho postupnosti. Niekedy sa preto nazýva aj Fibonacciho faktoriál a zvyčajne sa označuje ${\textstyle n!_{F}}$. Fibonoriál je pomenovaný podľa talianskeho matematika Leonarda Pisánskeho zvaného Fibonacci.

Definícia

Fibonoriál je definovaný pre každé ${\textstyle n\in \{0,\mathbb {N} \}}$

${\begin{aligned}n!_{F}&=\prod _{k=1}^{n}F_{k}\\&=F_{k}\cdot F_{k-1}\cdot \dots \cdot F_{2}\cdot F_{1}\\\end{aligned}}$

kde ${\textstyle F_{k}}$ je k-té číslo Fibonacciho postupnosti.

Pre fibonoriál čísla nula platí ${\textstyle 0!_{F}=1}$.

Aproximáciu fibonoriálu je možné vypočítať podľa vzorca

$n!_{F}\approx C{\frac {\phi ^{n(n+1)/2}}{5^{n/2}}}$

kde ${\textstyle C}$ je Fibonacciho faktoriálová konštanta

$C=\prod _{k=1}^{\infty }1-a^{k}$

kde ${\textstyle a}$ je

$a=-{\frac {1}{\phi ^{2}}}$

kde ${\textstyle \phi }$ konštanta zlatého rezu

$\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$.

Prvých desať fibonoriálov

n	n!_F	činitele súčinu
1	1	-
2	1	1*1
3	2	1*1*2
4	6	1*1*2*3
5	30	1*1*2*3*5
6	240	1*1*2*3*5*8
7	3120	1*1*2*3*5*8*13
8	65520	1*1*2*3*5*8*13*21
9	2227680	1*1*2*3*5*8*13*21*34
10	10904493600	1*1*2*3*5*8*13*21*34*55