Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie

Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie (pravdepodobnosti) (iné názvy: Fisherovo-Snedecorovo pravdepodobnostné rozdelenie, Fisherovo-Snedecorovo F-rozdelenie, Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie F, Fisherovo (F-)rozdelenie (pravdepodobnosti), Snedecorovo (F-)rozdelenie (pravdepodobnosti), F-rozdelenie (pravdepodobnosti), rozdelenie F) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike spojité rozdelenie pravdepodobnosti.

Rozdelenie je pomenované podľa Ronaldovi Aylmerovi Fisherovi a Georgeovi Waddelovi Snedecorovi, dvoch významných matematikoch.

Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie má v matematickej štatistike veľmi významné postavenie a využitie. Najčastejšie sa používa pri testovaní štatistických hypotéz. Pri tomto testovaní sa využívajú kritické hodnoty F-rozdelenia, ktoré sú tabelované a na základe nich vieme testovanú štatistickú hypotézu prijať alebo zamietnuť.

Definícia

Nech $X$ je náhodná premenná, nech $x>0$, a nech $m$ a $n$ sú prirodzené čísla. Hovoríme, že $X$ má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie s $m$ a $n$ stupňami voľnosti (môžeme tiež písať: (m, n) - stupňami voľnosti), ak jej hustota rozdelenia má nasledovný tvar:

$f_{m,n}(x)={\begin{cases}{\frac {\Gamma ({\frac {m+n}{2}})}{\Gamma ({\frac {m}{2}})\Gamma ({\frac {n}{2}})}}({\frac {m}{n}})^{\frac {m}{2}}x^{{\frac {m}{2}}-1}(1+{\frac {m}{n}}x)^{-{\frac {m+n}{2}}}&\mathrm {pre} \ x>0\\0&\mathrm {pre} \ x\leq 0\end{cases}}$

kde označenie $\Gamma (\alpha )$ označuje gama funkciu (ktorá sa tiež nazýva aj Eulerov integrál druhého druhu) a je definovaná nasledovne:

$\operatorname {\Gamma } (\alpha )=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{\alpha -1}\mathrm {d} x$

Označenie:

• $\operatorname {X} \sim F(m,n)$

Ďalšie vyjadrenia

Náhodnú premennú X, ktorá má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie, môžeme tiež vyjadriť aj pomocou dvoch $\chi ^{2}$-kvadrátov, a to nasledovne:
Majme dve náhodné premenné $Y$ a $Z$, ktoré sú nezávislé. Nech o nich platí, že $Y$ má $\chi ^{2}$-kvadrát rozdelenie s $m$ stupňami voľnosti a $Z$ nech má $\chi ^{2}$-kvadrát rozdelenie s $n$ stupňami voľnosti, teda: $\operatorname {Y} \sim \chi ^{2}(m)$ a $\operatorname {Z} \sim \chi ^{2}(n)$. Potom náhodná premenná $F$ definovaná vzťahom:

$F={\frac {\frac {Y}{m}}{\frac {Z}{n}}}$

má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie s $m$ a $n$ stupňami voľnosti.

Rozdelenie môžeme tiež vyjadriť aj pomocou dvoch náhodných výberov z normálneho rozdelenia, a to nasledovne:
Majme náhodný výber $(X_{1},...,X_{m})$ z nejakého základného súboru, ktorý má normálne rozdelenie $N(\mu _{1};\sigma _{1}^{2})$, ďalej majme náhodný výber $(Y_{1},...,Y_{n})$ z ďalšieho základného súboru, ktorý má normálne rozdelenie $N(\mu _{2};\sigma _{2}^{2})$. Nech $S_{1}^{2}$ a $S_{2}^{2}$ sú výberové rozptyly a nech pre $m$, $n$, $\sigma _{1}^{2}$ a $\sigma _{2}^{2}$ platí nasledovné:

• $m\geq 2$
• $n\geq 2$
• $\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}$

Potom náhodná premenná $F$ definovaná vzťahom:

$F={\frac {S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}}}$

má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie s $m-1$ a $n-1$ stupňami voľnosti (alebo: $(m-1,n-1)$-stupňami voľnosti).

Vlastnosti

Ako vidíme z definície, toto rozdelenie závisí od počtu stupňov voľnosti. Graf rozdelenia je asymetrický.
Pokiaľ má náhodná premenná $X$ Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie, tak potom jej $k-ty$ začiatočný moment má nasledovný tvar:

$\mu _{k}=\left({\frac {n}{m}}\right)^{k}{\frac {\Gamma ({\frac {m}{2}}+k)\Gamma ({n}{2}-k)}{\Gamma ({m}{2})\Gamma ({\frac {n}{2}})}}$

Z tohto vzťahu ľahko vidíme, že pre strednú hodnotu a disperziu náhodnej premennej $X$ s Fisherovým-Snedecorovým rozdelením platí nasledovné:

$E(X)={\frac {n}{n-2}}$ ; pre $n>2$

$D(X)={\frac {2n^{2}(m+n-2)}{m(n-2)^{2}(n-4)}}$ ; pre $n>4$

Kritická hodnota

Kritické hodnoty sa využívajú pri testovaní štatistických hypotéz a pre Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie sú tabelované. Kritickú hodnotu môžeme zadefinovať nasledovne:

Nech $X$ je náhodná premenná, ktorá má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie s $m$ a $n$ stupňami voľnosti. Potom hodnotu $\operatorname {F} (m,n,\alpha )$, ktorú náhodná premenná $X$ presiahne so zvolenou pravdepodobnosťou $\alpha$ nazývame kritickou hodnotou Fisherovho-Snedecorovho rozdelenia. Teda matematicky zapísané:

$P(X>F(m,n,\alpha ))=\int _{F(m,n,\alpha )}^{\infty }f_{m,n}(x)\mathrm {d} x=\alpha$

Externé odkazy

• Tabuľka kritických hodnôt F-rozdelenia

Zdroje

• RIEČAN, Beloslav; LAMOŠ, František; LENÁRT, Cyril. Pravdepodobnosť a matematická štatistika. Bratislava : ALFA – vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry Bratislava, 1984. Kapitola Popisná štatistika a výberové metódy – Výber z normálneho rozdelenia, s. 320.
• LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. Pravdepodobnosť a matematická štatistika - Štatistické analýzy. Bratislava : Vydavateľstvo Univerzity Komenského v Bratislave, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Niektoré typy rozdelenia pravdepodobnosti, s. 344 strán.
• JANKOVÁ, Katarína; PÁZMAN, Andrej. Pravdepodobnosť a štatistika. Bratislava : Vydavateľstvo UK, 2011. ISBN 978-80-223-2931-6. Kapitola Dôležité rozdelenia odvodené od normálneho, s. 150.
• BARNOVSKÁ, Mária, kol. Cvičenia z matematickej analýzy III.. [s.l.] : MFF UK, 2005. Dostupné online. Kapitola Parametrické integrály – Eulerove integrály, s. 156.