Hromadný bod

Hromadný bod množiny M je bod, v okolí ktorého sa hromadí nekonečne veľa bodov množiny M. Podstata hromadného bodu nachádza svoj zmysel pri definovaní spojitých štruktúr. Príkladom môže byť limita a derivácia, ktoré vo svojej definícií obsahujú pojem hromadného bodu, v ktorého okolí má zmysel uvažovať proces približovania sa k určitej hodnote.

Definícia hromadného bodu

Nech $x_{0}\in \mathbb {R}$. Hovoríme, že $x_{0}$ je hromadný bod množiny $M$ práve vtedy, keď pre každé jeho prstencové okolie ${\mathcal {P}}(x_{0})$ existuje bod $x\in M$ s vlastnosťou $x\in {\mathcal {P}}\cap M$ a zároveň $x\neq x_{0}$.

Definíciu možno chápať tak, že v ľubovoľne malom okolí hromadného bodu, vždy existujú body množiny M. V samotnej definícii limity sa pod zápisom $\lim _{x\to a}f(x)$ myslí, že bod a je hromadný bod definičného oboru funkcie f. Problém by mohol nastať v prípade, že bod a by nebol hromadným bodom definičného oboru funkcie. V tomto prípade by bolo nezmyselné definovať proces približovania k nejakej hodnote v rámci jeho prstencového okolia, ktorého body nie sú pre túto funkciu definované.

Príklad

Možno dokázať, že množina $M=\{1/n;\;n\in \mathbb {N} \}$ má hromadný bod $n_{0}=0$. Stačí podľa definície zvoliť prstencové okolie bodu 0, ${\mathcal {P}}(0):=(0;\xi )$. Dokážeme, že pre ľubovoľne malé $\xi >0$ existuje prvok $m\in M$ s vlastnosťami podľa definície. Majú platiť nasledovné nerovnosti

$0<{\frac {1}{n}}<\xi$

Keďže množina je obmedzená pre prirodzené čísla, stačí písať jednu nerovnosť

${\frac {1}{n}}<\xi$

Jednoduchou úvahou možno zistiť, že

${\frac {1}{\xi }}<n$

Preto stačí zvoliť vyhovujúci bod

$m={\frac {1}{\left\lceil {\frac {1}{\xi }}\right\rceil +1}}$

Týmto spôsobom sa našlo vyhovujúce $m\in M$, ktoré leží v ľubovoľnom okolí bodu 0 a zároveň nie je rovné 0.