Izolovaný ordinál

Izolovaný ordinál je ordinálne číslo, ktoré má predchodcu alebo je rovný prázdnej množine. Formálnejšie:
Ordinálne číslo $\alpha \,\!$ je izolované, ak

\alpha =0\vee (\exists \beta \in On)(\beta \cup \{\beta \}=\alpha )

On tu označuje triedu všetkých ordinálnych čísel.

Príklady

Každý konečný ordinál (tzn. každé prirodzené číslo) je izolovaný. Stačí si uvedomiť, že

$1=0\cup \{0\}=\{0\}\,\!$
$2=1\cup \{1\}=\{0,1\}\,\!$
$3=2\cup \{2\}=\{0,1,2\}\,\!$
$\ldots \,\!$

Existujú ale i nekonečné izolované ordinály, napríklad ak označím ako $\omega \,\!$ množinu prirodzených čísel, ktorá je takisto ordinál, potom

\omega +1=\{0,1,2,\ldots ,\omega \}=\omega \cup \{\omega \}\,\!

má predchodcu

\omega \,\!

Podobne má $\omega +2\,\!$ predchodce $\omega +1\,\!$ , takže opäť ide o izolovaný ordinál.

Naproti tomu existujú i ordinály, ktoré nie sú izolované. Takým ordinálom hovoríme limitný. Najmenším takým ordinálom je práve $\omega \,\!$ , ale existujú i väčšie limitné ordinály – napríklad $\omega .2\,\!$ , $\omega ^{2}\,\!$ alebo $(\omega ^{\omega })^{\omega }\,\!$ .

Použitie

Rozdelenie ordinálnych čísel na limitné a izolované sa často používa v dôkazoch transfinitnej indukcíe a v konštrukciách transfinitnej rekurzie, kde je prevedený zvláštny krok (z predchodcu na následníka) pre izolovaný ordinál a zvláštny krok (z množiny všetkých menších ordinálov na ich supremum) pre limitný ordinál.

Pozri aj

Matematický portál