Kovariančná matica (iné názvy: kovariantná matica,variančná matica, variantná matica, variančno-kovariančná matica) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike matica, ktorá má na priesečníku i-teho riadku a j-teho stĺpca kovarianciu medzi i-tym a j-tym prvkom náhodného vektora.
Majme p-rozmerný náhodný vektor
. Nech pre jednotlivé disperzie skalárnych náhodných premenných
, kde
, platí, že sú konečné, teda:
. Potom symetrická matica rozmeru
, ktorá má na priesečníku i-teho riadku a j-teho stĺpca kovarianciu prvkov
a
, teda číslo
, pre
, sa nazýva kovariančnou maticou náhodného vektora
.
Predchádzajúcu definíciu zapíšeme aj symbolicky. Kovarianciu dvoch prvkov daného náhodného vektora
označíme symbolom
, teda:
![{\displaystyle \Sigma _{ij}=\operatorname {cov} \left(X_{i},X_{j}\right)=\operatorname {E} [(X_{i}-E[X_{i}])(X_{j}-E[X_{j}])]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b2af0bfc2595bbdeb51b3cbc34cc16505b61d81)
Pričom samozrejme zo základných vlastností kovariancie vieme, že platí:
![{\displaystyle \operatorname {cov} (X_{i},X_{i})=\operatorname {var} (X_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fac8caa140451c2da5e851c641e33620420ec89)
Matica bude potom vyzerať nasledovne:
Vďaka vyššie spomenutej vlastnosti kovariancie môžeme maticu prepísať aj do tvaru:
Ako vyplýva už z vyššie uvedeného, v prevažnej väčšine literatúry sa používa na označenie kovariančnej matice veľké grécke písmeno sigma
(príp.
) alebo
.
Kovariančná matica má niekoľko dôležitých vlastností. V definícii môžeme pre zjednodušenie označiť:
![{\displaystyle {\mathbf {\Sigma } }=\mathrm {E} \left[\left({\textbf {X}}-\mathrm {E} [{\textbf {X}}]\right)\left({\textbf {X}}-\mathrm {E} [{\textbf {X}}]\right)^{\rm {T}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0daecb93d0d90f63caca8fbb1e0af845eb45c73)
a
![{\displaystyle \mu =\mathrm {E} ({\textbf {X}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25e6a4cebab78461a67a38e1be5f537c3a603b39)
- Kovariančná matica je symetrická a kladne semidefinitná matica, ktorá má na diagonále disperzie náhodných premenných
.
- Kovariančnú maticu možno vyjadriť v nasledovnom tvare:
![{\displaystyle \Sigma =\mathrm {E} (\mathbf {XX^{\rm {T}}} )-\mathbf {\mu } \mathbf {\mu ^{\rm {T}}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee7ebd02dd686e1cafdb114972c9f8f779124e37)
- Majme maticu
, ktorá má rozmery
a k-rozmerný náhodný vektor
. Potom pre kovariančnú maticu náhodného vektora
definovaného nasledovným vzťahom:
![{\displaystyle {\mathbf {Y} }={\mathbf {A} }{\mathbf {X} }+{\mathbf {B} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f5117e690925ad9f1d6c09613bee2a23afd02ae)
platí, že:
![{\displaystyle {\mathbf {\Sigma } }({\mathbf {Y} })={\mathbf {A} }{\mathbf {\Sigma } }({\mathbf {X} }){\mathbf {A} }^{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e61763cc8700e8b2b182e9081a5b93fc1f7f4c54)
- LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. Pravdepodobnosť a matematická štatistika – Štatistické analýzy. Bratislava : Vydavateľstvo UK, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Náhodné premenné a náhodné vektory., s. 344.
- ŠTULAJTER, František. Odhady v náhodných procesoch. Bratislava : ALFA – vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 1989. ISBN 80-05-00052-9. Kapitola Základy pravdepodobnosti, s. 288.
- FILOVÁ, Lenka. Náhodné vektory [online]. [Cit. 2012-09-05]. Dostupné online. [nefunkčný odkaz]
- JANKOVÁ, Katarína; PÁZMAN, Andrej. Pravdepodobnosť a štatistika. Bratislava : Vydavateľstvo UK, 2011. ISBN 978-80-223-2931-6. Kapitola Stredná hodnota a momenty. Úvod do teórie Lebesgueovho integrálu., s. 150.
- Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Covariance matrix na anglickej Wikipédii.