Kvadratický odhad je úloha pri ktorej je potrebné nájsť najmenšie číslo
resp. najväčšie číslo
také, že:
, resp.
.
Ak
, tak najväčšie zo všetkých takých čísel
, že pre každé
platí
, je
.
Ak
, tak najväčšie zo všetkých takých čísel
, že pre každé
platí
, je
.
Pomocou týchto poznatkov, prípadne samotnej techniky doplnenia na štvorec, možno nájsť podobné odhady aj v zložitejších situáciach.
Nájdite najväčšie také číslo
, aby nerovnosť
platila pre všetky
.
Riešenie: Pravda, nie je vopred jasné, čí také číslo vôbec existuje. Nech
pre
. Nájdeme najväčšie možné číslo
také, že
, pre každé
. To je ľahké, podľa vyššie uvedeného dostávame:
pre kazdé
. Preto
a rovnosť nastane vtedy a len vtedy, keď
. Platí teda
pre každé
. Navyše pre
nastáva rovnosť. Preto najväčšie také číslo
, že pre každé
platí
, je
.
Nájdite najmenšie také číslo
, že pre každé
platí
.
- Tento problém vlastne zahŕňa nasledujúce otázky:
- a) existuje číslo
také, že
platí pre každé
?
- b) Ak áno, je niektoré z takých čísel najmenšie?
- c) Ktoré je najmenšie také číslo, ak existuje?
Na všetky tieto otázky odpovieme naraz. Keďže
pre
, nerovnosť
platí pre niektoré
práve vtedy, keď
, čiže
za predpokladu, že
. Ak však
je také číslo, že
platí pre každé
, tak
, lebo výraz na ľavej strane vzťahu
je pre každé
kladný. Keďže
, tak predchádzajúca nerovnosť platí pre každé
vtedy a len vtedy keď
pretože
pre každé
, pričom rovnosť nastáva pre
. Nerovnosť
platí práve vtedy, keď
, číže
. Teda ak
, tak
platí pre všetky
. Navyše keď vezmeme
a z
vypočítané
, tak v
dostaneme rovnosť. Teda najmenšie z čísel
, ktoré spĺňajú
pre každé
je
.
Ukážme, že existujú také čísla
, že nerovnosť
platí pre každé
, a že jedno z nich je najväčšie.
Riešenie: Všimnime si najprv, že
pre každé číslo
. Preto
platí vtedy a len vtedy, keď
. Keď však
, vtedy
pre všetky
. Navyše pravá strana výrazu
je pre záporné
záporná. Z toho vyplýva, že tento výraz môže platiť pre každé
len vtedy, keď
. Teda uvedený výraz platí pre všetky
vtedy a len vtedy, keď
a zároveň
. Keďže
, pre každé
, pričom rovnosť platí pre
, bude nerovnosť
platiť pre všetky
vtedy a len vtedy, keď
. Teda
platí pre každé číslo
vtedy a len vtedy, keď
a nerovnosť
je splnená. Nerovnosť platí práve vtedy, keď
.
- Keďže vyššie uvedený zlomok je pre
kladný, číslo
vyhovuje nerovnostiam
práve vtedy, keď
, čiže práve vtedy, keď
, čiže
. Takto sme zistili, že nerovnosť
platí pre každé číslo
vtedy a len vtedy, keď
. Teda
je najväčšie zo všetkých takých čísel
, že nerovnosť
platí pre každé číslo
.
- I. KLUVÁNEK: Prípravný kurz k diferenciálnemu a integrálnemu počtu. Ružomberok, Pedagogická fakulta Katolíckej univerzity v Ružomberku. 2006, s. 64-67