Mohrova kružnica

Mohrova kružnica znázorňujúca všeobecný trojrozmerný napätostný stav. Tri hlavné napätia vyjadrujúce napätostný stav sú σ₁, σ₂, and σ₃.

Mohrova kružnica je graf znázorňujúci stav napätosti určitého bodu v rovine, ak sú známe hlavné alebo normálové a tangenciálne napätia v dvoch navzájom kolmých rovinách. Mohrova kružnica umožňuje znázorniť dvoj- aj trojdimenzionálne napätia. Na abscise (osi x) je v grafe znázorňované normálové napätie (σ  – sigma) a ordináte (osi y) je znázornené tangenciálne (šmykové) napätie (τ – tau). Konštrukcia Mohrovej kružnice umožňuje rýchle grafické odhady hodnôt a vektorov, čo je vhodné najmä pre overovanie analytických výsledkov.

Spôsob konštrukcie

Kružnica je narysovaná v pravouhlom súradnicovom systéme tak, že na os x sa vynáša normálové napätie. Existujú ale určité odlišnosti v spôsobe zápisu kompresného a tenzného napätia. V geológii je zaužívaná forma zapisovať (ex) tenzné napätie zaznačuje naľavo od nuly (záporné hodnoty hlavných napätí); ak ide o tlak (kompresiu) hodnoty sú vynášané na kladnú časť priamky (doprava). V inžinierskej mechanike sa používa opačná forma zápisu. Existujú tiež odlišné formy zápisu tangenciálneho napätia na osi y, kde sú kladné hodnoty vynášané buď do spodnej polroviny alebo do vrchnej polroviny. Obe spôsoby vynášania sú však ekvivalentné.

Stredom kružnice je bod na abscise (osi x) so súradnicami ${\frac {\sigma _{1}+\sigma _{3}}{2}}$. Jej polomer má veľkosť zodpovedajúcu hodnote ${\frac {\sigma _{1}-\sigma _{3}}{2}}$. (Rozdiel σ₁ − σ₃ sa tiež nazýva deviátor hlavných napätí.) Prechádza cez hodnoty σ₁ (maximálne normálové napätie) a σ₃ (minimálne normálové napätie).

Odčítanie uhla 2θ.

Každý bod kruhu, resp. jeho súradnice, sú vyjadrením komponentov normálového a tangenciálneho napätia, ktoré pôsobia v dvoch ľubovoľne uklonených plochách rezov preložených niektorým z bodov telesa. Inými slovami, je obvod kruhu miestom, ktoré predstavujú stavy napätosti rôznych smerov pre všetky rôzne sklonené plochy. To znamená, že pre akýkoľvek bod nachádzajúci sa na kruhu, je možné z osí x a y diagramu odčítať hodnoty jeho normálového a tangenciálneho (strižného) napätia. Body kružnice vyjadrujú orientácie rovín od 0 do 90° od smeru osi σ₁. Orientáciu uhla (2θ), ktorý zviera rovina rezu so σ₁, možno z grafu odčítať ako dvojnásobok uhla medzi abscisou (horizontálou – osou x) a spojnicou daného bodu so stredom kružnice. Z Mohrovej kružnice možno tiež odčítať uhol vnútorného trenia φ pre určitý napäťový stav. Predstavuje ho uhol zvieraný dotyčnicu kružnice v danom bode a abscisou (osou x).

V ideálnom prípade rovina, v ktorej pôsobí najväčšie tangenciálne napätie zviera s rovinami, v ktorých pôsobí maximálne normálové napätie σ₁ (a σ₃ – minimálne normálové napätie) uhol 45°. Na Mohrovej kružnici zobrazí do bodu na vrchole kružnice, ktorý sa pretína s uhlom 2θ o veľkosti 90°. Naopak v rovinách, ktoré sú rovnobežné so σ₁ je tangenciálne napätie nulové a normálové maximálne. Túto podmienku spĺňajú rezy, ktoré sú rovnobežné s osou x, teda 2θ je rovná 0 resp. 180°.

História

Pomenovaná je na počesť nemeckého inžiniera Ch. O. Mohra, ktorý sa zaoberal znázornením priestorového napätia. Jeho práca venovaná znázorneniu na kružnicu bola vydaná v roku 1882. Ako prvý použil grafické znázornenie pri posudzovaní pozdĺžnych a priečnych napätí v nosníkoch K. Culmann. Mohrova kružnica rozšírila možnosti znázornenia dvoj a trojdimenzionálneho napätia a tiež umožnila predpovedať podmienky porušenia materiálu.