Nashova rovnováha

John Forbes Nash (* 1928 – † 2015) prvýkrát sformuloval definíciu Nashovej rovnováhy vo svojej dizertačnej práci z roku 1950.

Nashova rovnováha (pomenovaná po americkom matematikovi Johnovi Forbsovi Nashovi) je v teórii hier pri nekooperatívnej hre – za predpokladu, že každý hráč pozná rovnovážne stratégie ostatných hráčov – stav, kedy žiaden hráč nemôže zlepšiť svoju situáciu jednostranným krokom (teda zmenou len svojej vlastnej stratégie).

Ak si každý hráč zvolil stratégiu a žiadny hráč nemôže ťažiť zo zmeny svojej stratégie, zatiaľ čo si ostatní hráči udržia ich stratégie v nezmenenej podobe, potom aktuálne súbory výberu stratégie a zodpovedajúce výnosy predstavujú Nashovu rovnováhu. Napr.: Amy a Bill sú v stave Nashovej rovnováhy, ak Amy robí čo najlepšie rozhodnutie berúc do úvahy rozhodnutie Billa a Bill, naopak, robí čo najlepšie rozhodnutie berúc do úvahy rozhodnutie Amy. Rovnako aj väčšie množstvo hráčov je v Nashovej rovnováhe, ak každý z nich robí čo najlepšie rozhodnutie s prihliadnutím na rozhodnutia na ostatných. Avšak, Nashova rovnováha neznamená nutne najlepšie výnosy pre všetkých, ktorí sú zapojení. V mnohých prípadoch všetci hráči môžu zlepšiť svoje výnosy, ak by súhlasili so stratégiou odlišnou od Nashovej rovnováhy (napr. konkurenční podnikatelia tvoria kartel s cieľom zvýšiť svoje zisky).

Aplikácia Nashovej rovnováhy

Koncept Nashovej rovnováhy sa používa na analýzu výsledku strategickej interakcie niekoľkých hráčov. Inými slovami, je to spôsob, ako predpovedať, čo sa stane, keď niekoľko osôb alebo inštitúcií robí rozhodnutie v rovnakom čase, a ak rozhodnutie každého z nich závisí od rozhodnutí iných. Jednoduché vysvetlenie myšlienky Johna Nasha je, že nemôžeme predvídať výsledok výberu viacerých hráčov, ak budeme ich rozhodnutia analyzovať v izolácii. Naopak, musíme sa pýtať, čo by urobil každý hráč, berúc do úvahy vytváranie rozhodnutí ostatných.

Nashova rovnováha sa používala na analýzu nepriateľských situácií (napr. vojna) a tiež na zmiernenie konfliktu opakovaním interakcie. Taktiež sa používala na štúdiu, do akej miery dokážu ľudia s rôznymi preferenciami spolupracovať, a či budú riskovať, aby dosiahli spoločný výsledok. Pomohla pri prijatí technických noriem, rovnako ako pri vedení bánk a menovej kríze. Medzi ostatné aplikácie patrí návštevnosť, organizovanie aukcí, a dokonca penalty vo futbale.

Dejiny

Nashova rovnováha bola publikovaná v doktorskej dizertačnej praci Johna Forbsa Nashova “Non-Cooperative Games”, publikovanej v september 1951 časopise Annals of Mathematics, ktorou rozvinul svoj článok “The Bargaining Problem” publikovaný v žurnáli Econometrica v 1950.

Verziu konceptu Nashovej rovnováhy prvýkrát použil filozof a matematik Antoine Augustin Cournot vo svojej teórii oligopolu (1838). V Cournotovej teórii, si firmy zvolia koľko výstupov produkovať na maximalizovanie ich vlastných ziskov. Avšak, najlepší výstup pre jeden podnik závisí od výstupov ostatných. Namiesto toho moderný koncept teórie hry odvodený od Nashovej teórie je definovaný zmiešanými stratégiami, kde si hráči zvolia pravdepodobnú distribúciu cez možné procesy.

Pojem zmiešané stratégie Nashovej rovnováhy bol zavedený matematikom Johnom von Neumannom a ekonómom Oskarom Morgensternom (1944) v knihe Teória hier a ekonomické správanie. Avšak, ich analýza je obmedzená na špecifický prípad hry s nulovým súčtom. Ukázali, že zmiešaná stratégia Nashovej rovnováhy bude existovať pre všetky hry s nulovým súčtom s konečným súborom procesov. Príspevkom Johna Forbesa Nasha v článku z roku 1951 „Nekooperatívne hry“ bolo definovanie zmiešanej stratégie pre akúkoľvek hru s konečným súborom akcií a preukázanie, že najmenej jedna Nashova rovnováha musí existovať.

Od vývoja konceptu Nashovej rovnováhy teoretici hier zistili, že za určitých okolností vedie táto teória ku klamlivým prognózam. Preto navrhli množstvo súvisiacich riešení koncepcie (tiež nazývané „upresneniami“ Nashovej rovnováhy), ktoré boli určené na prekonanie nedostatkov v Nashovej koncepcii. Obzvlášť dôležité je, že niektoré Nashove rovnováhy môžu byť založené na hrozbách, ktoré nie sú „dôveryhodné“. Preto v roku 1965 ekonóm Reinhard Selten navrhol dokonalú rovnováhu v podhrách ako upresnenie, že eliminuje rovnováhy založené na nevierohodných hrozbách. Ďalšie rozšírenie Nashovej rovnováhy rieši, čo sa stane v prípade že hra sa opakuje alebo v prípade, že hra sa hrá bez dokonalých informácií. Avšak následné zlepšenia a rozšírenia Nashovej rovnováhy zdieľajú hlavné poznatky, na ktorých Nashova koncepcia spočíva: všetky koncepty rovnováhy analyzujú aké rozhodnutia budú vykonané, ak každý hráč zoberie do úvahy tvorbu rozhodnutia ostatných.

Definícia

Neformálna definícia

Súbor stratégií je Nashovou rovnováhou, ak žiaden hráč nemôže získať viac jednostrannou zmenou svojej stratégie. Teda predstavme si, že si každý hráč pozná stratégie ostatných. Predpokladajme, že každý hráč sa spýta sám seba: „Môžem získať zmenou mojej stratégie na základe znalosti stratégií ostatných hráčov a považovania týchto stratégii za nemenné?“. Ak by ktorýkoľvek hráč odpovedal „áno“, potom takýto súbor stratégií nie je Nashova rovnováha. Ale ak sa každý hráč rozhodne nezmeniť stratégiu (alebo je nezaujatý čo sa týka zmeny), potom súbor stratégií je Nashova rovnováha. Preto každá stratégia v Nashovej rovnováha je najlepšia reakcia na všetky ostatné stratégie v rovnováhe.

Nashova rovnováha sa niekedy môže zdať iracionálna z pohľadu tretej osoby. To je preto, že môže nastať situácia, že Nashova rovnováha nie je v Paretovom optime.

Nashova rovnováha môže mať aj iracionálne dôsledky v nadväzujúcich hrách, pretože hráči sa môžu navzájom „ohroziť“ iracionálnymi ťahmi. Pri takýchto hrách môže byť ako nástroj analýzy oveľa zmysluplnejšia dokonalá rovnováha Nasha v podhrách

Formálna definícia

Nech (S, f) je hra s n hráčmi, kde S_i je stratégia hráča i, S = S₁ XS₂ ...XS_n je množina strategických profilov a f=(f₁(x),...,f_n(x))je funkcia výnosu. Nech x_-i je profil stratégie všetkých hráčov s výnimkou hráča i. Keď každý hráč i patriaci množine (1,...,n) volí stratégiu x_i z množiny (x₁,...,x_n), potom hráč získa aj výnos f_i(x). Všimnite si, že výnos závisí od zvoleného profilu stratégie, to je od stratégie zvolenej hráčom i, rovnako ako od stratégií zvolených všetkými ostatnými hráčmi. Profil stratégie x^* z množiny S je Nashovou rovnováhou, ak neexistuje jednostranná výnimka v stratégii spôsobená hráčom, z ktorej má zisk.

Hra môže mať čistú stratégiu Nashovej rovnováhy alebo Nashovu stratégiu v zmiešanej forme (to je vybrať si čistú stratégiu s pevnou frekvenciu). Nash dokázal, že ak by sme umožnili zmiešané stratégie, potom každá hra s n hráčmi, v ktorej si každý hráč môže vybrať z konečného množstva stratégií pripustí aspoň jednu Nashovu rovnováhu.

Ak je nerovnosť ostrá pre všetkých hráčov a pre všetky možné stratégie hovoríme o ostrej Nashovej rovnováhe. Naopak, ak medzi niektorými hráčmi alebo stratégiami existuje rovnosť hovoríme o slabej Nashovej rovnováhe.