Permutácia (kombinatorika)

Permutácia alebo poradie základného súboru n prvkov je skupina všetkých n prvkov, pri ktorej záleží na poradí prvkov v nej (pričom toto poradie môže byť ľubovoľné). Ako permutácia alebo premiestnenie sa označuje aj proces vytvorenia takejto skupiny.
Slovo permutovať znamená obmieňať.

Rozlišujeme permutácie s opakovaním a bez opakovania.

Permutácie bez opakovania

M je množina n rôznych prvkov, z ktorých tvoríme n - tice, pričom prvky v n - ticiach sa nemôžu opakovať. $P(n)=n!$ , kde $n!$ označuje faktoriál.

Ak sa nehovorí inak, sú permutácie myslené bez opakovania.

Príklad

Máme skupinu troch rôznych prvkov $a,b,c$ . Permutácie týchto prvkov predstavujú skupiny $abc$ , $acb$ , $bac$ , $bca$ , $cab$ , $cba$ .
Ich počet je teda: $P(3)=3!=6$

Permutácie s opakovaním

M je množina n prvkov, z ktorých je $k_{1}$ rovnakých 1. druhu, $k_{2}$ je rovnakých 2. druhu, až $k_{r}$ je rovnakých r - tého druhu, pričom platí: $k_{1}+k_{2}+...+k_{r}=n$ .
Prvky vo výbere sa teda môžu opakovať. Počet permutácií s opakovaním je určený ako:

$P_{k_{1},k_{2},...,k_{r}}(n)={\frac {n!}{{k_{1}!}\cdot {k_{2}!}\cdot ...\cdot {k_{r}!}}}$ ,

Príklad

1. Máme skupinu troch prvkov $a,a,b$ . Skupina je teda zložená z dvoch skupín (teda $k=2$ ), pričom prvá skupina má dva prvky $a$ , tzn. $k_{1}=2$ , a druhá skupina obsahuje jeden prvok $b$ , tzn. $k_{2}=1$ .

Permutáciami s opakovaním získame skupiny $aab$ , $aba$ , $baa$ . Počet týchto skupín je teda rovný: $P_{2,1}(3)={\frac {3!}{{2!}\cdot {1!}}}=3$

2. Koľkými spôsobmi možno rozsadiť 8 žiakov, z ktorých majú dvaja zelené, traja červené a ďalší traja modré vetrovky?
Riešenie: $P_{2,3,3}(8)={\frac {8!}{2!\cdot 3!\cdot 3!}}=560$

Pozri aj

Použitá literatúra

Marián Olejár a kol.: Zbierka vzorcov z matematiky, Vydavateľstvo Young Scientist, ISBN 80-88792-16-9