Portál:Matematika/Odporúčaný článok/31 2011

V matematike a fyzike, špeciálne tam, kde sa uplatňuje lineárna algebra, Einsteinova (sumačná) konvencia alebo Einsteinova notácia je spôsob zapisovania rovníc výhodný pri práci so zložkami tenzorov, v rámci nich špeciálne aj vektorov a kovektorov. Túto konvenciu zaviedol A. Einstein r. 1916.

Podľa tejto notácie, keď sa rovnaký index objaví v súčine dvakrát (raz ako horný a raz ako dolný), znamená to automatickú sumáciu cez všetky možné hodnoty tohoto indexu. V typických aplikáciách môže index nadobúdať hodnoty 1, 2, 3 v euklidovskom priestore alebo 0, 1, 2, 3 v Minkowského priestore. Počet hodnôt, ktoré index môže nadobúdať je rovný dimenzii priestoru, v ktorom pracujeme. V troch rozmeroch napríklad

$y=c_{i}x^{i}\$

automaticky znamená

$y=\sum _{i=1}^{3}c_{i}x^{i}=c_{1}x^{1}+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}.$

Dôvodom na používanie tejto konvencie je sprehľadnenie zložitých rovníc, kde treba sumovať cez viacero rôznych indexov.

Spúšťanie a dvíhanie indexov

Ak máme priestor s metrickým tenzorom $g_{ij}$, zavádza sa jeho inverzná matica vzťahom

$g^{ac}g_{cb}:=\delta _{b}^{a},$

kde $\delta _{b}^{a}$ je Kroneckerov symbol (rovný 1, ak $a=b$ a rovný 0, ak $a\neq b$). Potom možno zaviesť operáciu dvíhania a spúšťania indexov nasledovne:

$\sharp _{g}\,:\quad \alpha _{a}\mapsto \alpha ^{a}:=g^{ab}\alpha _{b}$

$\flat _{b}\,:\quad v^{a}\mapsto v_{a}:=g_{ab}v^{b}$

Veličinám $v_{a},v^{a}$ sa niekedy zvykne hovoriť kovariantné a kontravariantné zložky (toho istého) vektora $v$. V striktnej terminológii sú však prvé z nich zložkami kovektorov.

Vzhľadom na to, že v euklidovskom priestore $g_{ab}=\delta _{ab}$, čísla $v_{a}$ a $v^{a}$ sú rovnaké, pre každé $v$. Preto sa pri práci v ňom často ignoruje poloha indexov hore-dolu.

Celý článok...