Portál:Matematika/Odporúčaný článok/32 2011

Derivácia v smere, presnejšie derivácia diferencovateľnej funkcie viacerých reálnych premenných v smere daného vektora „V“ v danom bode „P“, je koncept, ktorý formalizuje intuitívnu predstavu "sklonu" rezu danej funkcie rovinou určenou (jednotkovým) vektorom „V“ a osou závislej premennej v bode „P“. Derivácia v smere teda určuje mieru rastu funkcie, ak všetky závislé premenné meníme v smere vektora „V“. Je teda zovšeobecnením konceptu parciálnej derivácie, pri ktorej je tento smer vždy rovnobežný s niektorou zo súradnicových osí – parciálna derivácia je teda špeciálnym prípadom derivácie v smere. Derivácia v smere je zas špeciálnym prípadom tzv. Gâteauxovej derivácie.

Definícia

Derivácia funkcie

$f({\vec {x}})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$

v smere vektora

${\vec {v}}=(v_{1},\ldots ,v_{n})$

je funkcia definovaná ako limita

${\frac {\partial f}{\partial {\vec {v}}}}({\vec {x}})=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f({\vec {x}}+h{\vec {v}})-f({\vec {x}})}{h}}.$

Niekedy sa derivácia v smere označuje aj ako $D_{\vec {v}}({\vec {x}})$ alebo $\nabla _{\vec {v}}({\vec {x}})$. Ak je funkcia $f$ diferencovateľná v bode ${\vec {x}}$, tak existuje derivácia v smere ľubovoľného vektora ${\vec {v}},$ pričom platí

${\frac {\partial f}{\partial {\vec {v}}}}({\vec {x}})=\nabla f({\vec {x}})\cdot {\vec {v}}$,

kde $\nabla$ označuje gradient a $\cdot$ je skalárny súčin.

Celý článok...