Portál:Matematika/Odporúčaný článok/38 2011

Lagrangeov polynóm, pomenovaný podľa Josepha Louisa Lagrangea, je v numerickej matematike interpolujúci polynóm pre danú množinu bodov v Lagrangeovom tvare. V roku 1779 ho objavil Edward Waring a v roku 1783 ho znovuobjavil Leonhard Euler.

Je povšimnutia hodné, že pre danú množinu bodov existuje len jeden polynóm (najmenšieho možného stupňa), ktorý interpoluje dané body. Preto je správnejšie o Lagrangeovom polynóme hovoriť ako o Lagrangeovom tvare interpolujúceho polynómu, než o Lagrangeovom interpolujúcom polynóme.

Definícia

Nech je daná množina k + 1 bodov

$(x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{j},y_{j}),\ldots ,(x_{k},y_{k})$

kde žiadne dve hodnoty $x_{j}$ nie sú rovnaké. Potom interpolujúci polynóm v Lagrangeovom tvare pre túto množinu bodov je lineárna kombinácia

$L(x):=\sum _{j=0}^{k}y_{j}\ell _{j}(x)$

Lagrangeových bázických polynómov

$\ell _{j}(x):=\prod _{f=0,\,f\neq j}^{k}{\frac {x-x_{f}}{x_{j}-x_{f}}}.$

Je povšimnutia hodné, že za predpokladu, že žiadne dve hodnoty $x_{i}$ nie sú rovnaké (a to ani nemôžu byť, keďže by daná úloha nedávala zmysel), platí $x_{j}-x_{f}\neq 0$, čiže daný výraz je vždy dobre definovaný.

Celý článok...