Portál:Matematika/Odporúčaný článok/3 2016

Mersennovo prvočíslo alebo Mersennovo číslo je prvočíslo ktoré sa dá zapísať v tvare $M_{n}=2^{n}-1$, kde $n$ je prirodzené číslo. Príkladom Mersenovho prvočísla je číslo 3 pretože je to prvočíslo a navyše $3=2^{2}-1$. Prvých 10 Mersennovych prvočísel tvorí postupnosť:

3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951, 618970019642690137449562111...

V súčasnosti je známych 49 Mersennových prvočísel. Zatiaľ najväčšie známe Mersennovo prvočíslo má viac ako 22 miliónov cifier a objavil ho iba nedávno Curtis Cooper z University of Central Missouri v rámci projektu Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), ktorý spája tisícky počítačov po celom svete, aby mohli spojiť svoje sily a hľadať nové prvočísla.

Prípustné hodnoty $n$

Nutnou podmienkou k tomu, aby bolo $M_{n}$ prvočíslom je prvočíselnosť samotného $n$. Totiž, ak je $n$ zložené číslo, dá sa vyjadriť v tvare $n=a.b$ kde $a,b$ sú prirodzené čísla rôzne od 1. Navyše platí vzťah

$M_{n}=M_{ab}=2^{ab}-1=(2^{a}-1)\cdot \left(1+2^{a}+2^{2a}+2^{3a}+\dots +2^{(b-1)a}\right)$

z ktorého vyplýva, že $M_{n}$ je tiež zložené číslo. Preto môže byť $M_{n}$ prvočíslom len v tom prípade, ak je prvočíslom aj $n$.

To ale neznamená, že ak je $n$ prvočíslom, je ním aj $M_{n}$. Najmenším príkladom je $M_{11}=2047=23.89$.

Celý článok...