Relácia ekvivalencie

Relácia ekvivalencie alebo jednoducho ekvivalencia je binárna relácia, ktorá je súčasne reflexívna, symetrická a tranzitívna.

Definícia

Ak ~ je relácia na množine X, tak ide o reláciu ekvivalencie, ak pre ľubovoľné prvky a, b, c množiny X platí:

• a ~ a. (reflexívnosť)
• Ak a ~ b, tak aj b ~ a. (symetrickosť)
• Ak a ~ b a b ~ c, tak a ~ c. (tranzitívnosť)

Relácie ekvivalencie a rozklady

Relácie ekvivalencie sú v úzkom vzťahu s rozkladmi. Ak máme reláciu ~ na množine M, tak pre každý prvok $a\in X$ definujeme jeho triedu ako

$[a]=\{x\in X;a\sim x\}.$

Inak povedané, [a] je množina všetkých prvkov, ktoré sú v relácii s prvkom a.

Pre ľubovoľné dve triedy [a] a [b] platí buď [a]=[b] alebo $[a]\cap [b]=\emptyset$, t.j. dve rôzne triedy sú navzájom disjunktné. Zjednotenie všetkých tried je celá množina X. Teda množina

$\{[a];a\in X\}$

všetkých tried ekvivalencie tvorí rozklad množiny X.

Takto dostaneme z ľubovoľnej relácie ekvivalencie rozklad. Obrátene, z každého rozkladu množiny X sa dá vyrobiť zodpovedajúca relácia ekvivalencie na X. Dva prvky budú v relácii práve vtedy, keď ležia v tej istej triede rozkladu.

Máme teda jednojednoznačnú korešpondenciu medzi rozkladmi množiny X a reláciami ekvivalencie na X.

Literatúra

• KATRIŇÁK, Tibor; GAVALEC, Martin; GEDEONOVÁ, Eva; SMÍTAL, Jaroslav. Algebra a teoretická aritmetika (1). Bratislava : Alfa, 1985.