Riemannova guľa

Riemannova guľa môže byť znázornená ako komplexná rovina obalená okolo gule istým spôsobom stereografickej projekcie.

Riemannova guľa alebo Riemannova sféra, pomenovaná podľa Bernharda Riemanna, je matematický koncept umožňujúci rozšíriť Gaussovu rovinu komplexných čísel o bod reprezentujúci nekonečno takým spôsobom, že možno zmysluplne pracovať s výrazmi typu

$1/0=\infty$.

Riemannova guľa sa niekedy označuje aj:

• Komplexná projektívna priamka, označovaná $\mathbb {CP} ^{1}$ alebo
• Rozšírená komplexná rovina, prípadne rozšírená Gaussova rovina, označovaná $\mathbb {\hat {C}}$ alebo $\mathbb {C} \cup \{\infty \}$.

Z čisto algebraického pohľadu, komplexné čísla s nevlastným bodom v nekonečne tvoria systém, ktorý býva označovaný ako rozšírené komplexné čísla. Avšak aritmetika s nekonečnom sa neriadi zvyčajnými pravidlami, a preto takáto štruktúra netvorí pole. Výpočty na Riemannovej guli sa však z geometrického aj analytického pohľadu správajú rozumne aj v nekonečne.

Riemannova guľa je jednorozmerná komplexná varieta, nazývaná aj Riemannova plocha.

V komplexnej analýze sa Riemannova guľa používa najmä v teórii meromorfných funkcií. Veľmi často sa využíva v projektívnej a algebraickej geometrii, keďže je jedným zo základných príkladov komplexnej variety, projektívneho priestoru, ako aj algebraickej variety. Koncept Riemannovej gule tiež nachádza uplatnenie v nematematických odvetviach, ktoré využívajú matematickú analýzu a geometriu - predovšetkým v kvantovej mechanike a iných oblastiach fyziky.

Komplexná varieta

Riemannova guľa je jednorozmerná komplexná varieta, ktorej atlas pozostáva z dvoch komplexných súradníc $\zeta ,\xi \in \mathbb {C}$, kde

$\zeta :{\hat {\mathbb {C} }}\setminus \{\infty \}\to \mathbb {C}$ je definovaná ako $\zeta (z)=z$

a

$\xi :{\hat {\mathbb {C} }}\setminus \{0\}\to \mathbb {C}$ je definovaná ako $\zeta (z)={\frac {1}{z}}$ pre $z\neq \infty$ a 0 pre $z=\infty$.

Takáto definícia intuitívne zodpovedá zlepeniu dvoch rovín, ktoré pokrývajú takmer celú guľu, až na jeden bod (ktorý je pre jednu rovinu 0 a pre druhú $\infty$). Počiatok $\zeta$-súradnice hrá v tomto prípade úlohu nekonečna pre $\xi$-súradnicu a naopak.

Stereografická projekcia

Stereografická projekcia Riemannovej gule do Gaussovej roviny.

Riemannova guľa môže byť interpretovaná nasledujúcim spôsobom: ide o guľu, ktorá sa južným pólom dotýka počiatku Gaussovej roviny. Ktorémukoľvek bodu z Gaussovej roviny možno priradiť bod na Riemannovej gule preložením priamky medzi bodom z a severným pólom gule. Bod, v ktorom sa táto priamka pretne s povrchom Riemannovej gule je bod Riemannovej gule odpovedajúci bodu z. Severný pól Riemannovej gule odpovedá nekonečnu, čo je v súlade s prirodzenou geometrickou predstavou.

Pozri aj

• Komplexná analýza
• Gaussova rovina
• Stereografická projekcia

Iné projekty

Commons

• Commons ponúka multimediálne súbory na tému Riemannova guľa

Externé odkazy

• Riemannova guľa Archivované 2010-06-20 na Wayback Machine - PlanetMath (po anglicky)
• Riemannova guľa - Wolfram MathWorld (po anglicky)

Zdroje

• Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článkov Riemann sphere na anglickej Wikipédii a Riemannova koule na českej Wikipédii.