Pole (algebra)

V abstraktnej algebre označuje pole algebrickú štruktúru zloženú z množiny a na nej definovaných dvoch operácií, ktoré sa správajú podobne ako sčítanie a násobenie na racionálnych či reálnych číslach. Tento stupeň abstrakcie nám umožňuje študovať všetky podobné štruktúry naraz. Pole je teleso, v ktorom je multiplikatívna operácia komutatívna.

Úvod

Polia sú dôležité objekty, pretože poskytujú užitočné zovšeobecnenie mnohých rôznych systémov, vrátane číselných, ako sú racionálne, reálne a komplexné čísla. Platia v nich klasické pravidlá asociativity, komutativity a distributivity. Polia sa vyskytujú v rozmanitých oblastiach matematiky (pozri aj príklady nižšie).

V časoch, keď sa abstraktná algebra ešte vyvíjala, zvyčajne definície polí neobsahovali požiadavku komutativity multiplikatívnej operácie a to, čo dnes nazývame poľom, by sa vtedy nazývalo komutatívnym poľom alebo racionálnou doménou. Všetky bežne zaužívané definície v súčasnosti majú komutatívnu multiplikatívnu operáciu. Štruktúry podobné poliam, v ktorých multiplikatívna operácia nie je komutatívna, dnes nazývame telesá. Niektoré kultúry a jazyky nemajú ani samostatné slovo označujúce pole, napr. vo francúzštine sa nazývajú corps commutatif (komutatívne teleso).

Koncept poľa sa používa napr. aj vo vektorových priestoroch a maticiach, dvoch štruktúrach z lineárnej algebry obsahujúcich prvky daných polí. Galoisova teória študuje symetrie rovníc skúmaním spôsobov, akými polia môžu byť obsiahnuté v iných poliach. (Pozri aj teória polí (algebra)).

Definícia

Pole je usporiadaná trojica (F, +, *), kde

• F je ľubovoľná množina,
• + je ľubovoľná binárna operácia na množine F, ktorú nazývame aditívna operácia poľa,
• * je ľubovoľná binárna operácia na množine F, ktorú nazývame multiplikatívna operácia poľa,
• (F, +) je abelovská grupa, ktorej neutrálny prvok nazývame nulou poľa a symbolicky zapisujeme 0,
• $(F\setminus \{0\},*)$ je abelovská grupa a jej neutrálny prvok nazývame jednotkou poľa (symbolicky 1),
• multiplikatívna operácia * je distributívna vzhľadom na aditívnu operáciu +, teda platí $\forall a,b,c:\ a*(b+c)=a*b+a*c$ (keďže * je komutatívna operácia, * je distributívne z oboch strán vzhľadom na +).

Inak povedané, pole je teleso s komutatívnou multiplikatívnou operáciou.

Keďže každé pole je teleso, obor integrity a okruh, platia všetky vety dokázané s týmito štruktúrami.

Príklady

• Komplexné čísla vzhľadom na klasické sčítanie násobenie. Toto pole obsahuje nasledovné podpolia:
  • pole racionálnych čísel Q,
  • algebrické číselné pole, čo je konečné rozšírenie poľa racionálnych čísel, t. j. pole obsahujúce racionálne čísla s konečnou dimenziou ako vektorový priestor nad poľom racionálnych čísel,
  • pole algebrických čísel nad Q, algebrický uzáver poľa Q,
  • pole reálnych čísel R vzhľadom na klasické operácie sčítania a násobenia. Pri obvyklom usporiadaní tvorí toto pole úplne usporiadané pole, ktoré je kategorické — toto je presne štruktúra, ktorá poskytuje základ pre najformálnejší prístup k matematickej analýze,
    • samotné pole reálnych čísel obsahuje niekoľko zaujímavých podpolí: reálne algebrické čísla, vypočítateľné čísla a definovateľné čísla.
• Ak q > 1 je mocnina prvočísla, potom existuje (až na izomorfizmus) presne jedno konečné pole s q prvkami, zvyčajne označované F_q,Z_q, Z/qZ, alebo GF(q). Všetký ostatné konečné polia sú izomorfné s nejakými takýmito poľami. Tieto polia sa nazývajú Galoisove polia (preto označenie GF(q)).
  • Pre dané prvočíslo p, množina všetkých celých čísel p je konečné pole o p prvkoch F_p = {0, 1, ..., p − 1} vzhľadom na operácie podľa zvyškového modulu p (t. j. vykonaním klasickej operácie sčítania či násobenia, pričom výsledok bude zvyšok po celočíselnom delení číslom p).
    • napríklad pre p=2 dostaneme najmenšie možné konečné pole (netriviálne), Z₂, s dvoma prvkami: 0, 1. Operácie je možné popísať Cayleyho tabuľkami nasledovne:

     +  0  1        *  0  1
     0  0  1        0  0  0
     1  1  0        1  0  1

Toto pole je veľmi dôležité v informatike, zvlášť v šifrovaní a teórii kódovania.

• Racionálne čísla sa dajú rozšíriť na pole p-adických čísel pre každé prvočíslo p. Tieto polia sú veľmi dôležité v teórii čísel a matematickej analýze.
• Nech E a F sú dve polia, pričom E je podpole poľa F. Nech x je prvok poľa F nepatriaci poľu E. Potom zápisom E(x) označuje najmenšie podpole poľa F, ktoré obsahuje E a x. Toto podpole nazývame aj jednoduché rozšírenie poľa E. Napríklad, Q(i) je pole, ktoré pozostáva z komplexných čísel majúcich tak reálnu, ako aj imaginárnu zložku racionálne. Dokonca sa dá ukázať, že všetky nekonečné číselné polia sú jednoduché rozšírenia poľa Q.
• Pre každé pole F je množina F(X) racionálnych funkcií s premennou X s koeficientami z F poľom. Toto pole sa definuje ako množina všetkých podielov polynómov s koeficientami z poľa F. Je to najjednoduchší príklad transcendentálneho rozšírenia.
• Keď F je pole a p(x) je ireducibilný polynóm z okruhu polynómov F[x], potom faktorový okruh F(x)/(p(x)) (faktorový okruh poľa F podľa ideálu generovaného polynómom p(x)) je pole, ktoré má podpole izomorfné s F. Dá sa dokázať, že každé jednoduché algebrické rozšírenie F je izomorfné s nejakým poľom takéhoto typu.
• Ak F je pole, potom množina F((X)) formálnych Laurentovych radov nad F je poľom.
• Keď V je algebrická varieta nad poľom F, potom racionálne funkcie V → F tvoria pole (funkčné pole nad V).
• Keď S je Riemannov povrch, potom meromorfické funkcie S → C tvoria pole.
• Ak I je indexová množina, U je ultrafilter na I a F_i je pole pre každé i z I, potom ultrasúčin F_i (vzhľadom na U) je pole.
• Hyperreálne a superreálne čísla rozširujú pole reálnych čísel o infinitezimálne a nekonečné čísla.

Jednoduché vety

• Množina nenulových prvkov poľa F (zvyčajne ju označujeme ako F^×) tvorí vzhľadom na multiplikatívnu operáciu abelovskú grupu, ktorej každá konečná podgrupa je cyklická.
• Charakteristika každého poľa je buď nulová alebo prvočíselná. (Charakteristika poľa je najmenšie kladné číslo n také, že $n\times 1=0$ ($\times$ je aditívna číselná mocnina) alebo 0, ak také číslo neexistuje. Ekvivalentná definícia hovorí, že charakteristika poľa F je jedinečný nezáporný generátor jadra jedinečného okruhového homomorfizmu Z→ F, ktoré posiela 1 |→ 1.)
• Rád konečného poľa (počet prvkov) je mocnina prvočísla.
• Podobne ako teleso, pole má len triviálne ideály ({0} a samého seba).
• Ku každému poľu F existuje jedinečné pole G (až na izomorfizmus), ktoré obsahuje F, je algebrické na F a je algebricky uzavreté. Takéto pole G sa nazýva algebrický uzáver poľa F.
• Algebrický uzáver poľa reálnych čísel je pole komplexných čísel.

Externé odkazy

• ALGEBRA - Binárne operácie a polia

Matematický portál