Riemannova zeta funkcia

Riemannova zeta funkcia alebo Riemannova funkcia zeta je komplexná matematická funkcia pomenovaná po Bernhardovi Riemannovi a označovaná gréckym písmenom ζ, zohrávajúca mimoriadne dôležitú úlohu v analytickej teórii čísel. Má aplikácie aj vo fyzike, v teórii pravdepodobnosti a štatistike. Je ústredným pojmom v tzv. Riemannovej hypotéze, ktorá je jedným z najznámejších otvorených problémov v matematike.

Definícia

Riemannova zeta funkcia je definovaná ako súčet nekonečného radu

$\zeta (s)=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},$

ktorý konverguje pre všetky komplexné čísla s, ktorých reálna časť je väčšia ako 1. Riemann ale navrhol spôsob, ktorým je možné túto definíciu rozšíriť na všetky čísla komplexnej roviny rôzne od 1.

Riemannova zeta funkcia je meromorfná funkcia komplexnej premennej s, ktorá je holomorfná všade okrem bodu s = 1.

Súvis s teóriou čísel

Leonhard Euler objavil nasledujúci vzťah medzi Riemannovou zeta funkciou a prvočíslami:

$\zeta (s)=\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p\in P}{\frac {1}{1-p^{-s}}},$

kde P je množina všetkých prvočísel.

Funkcionálna rovnica

Riemannova zeta funkcia vyhovuje pre všetky komplexné čísla rôzne od 1 a 0 funkcionálnej rovnici

$\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s)\!,$

kde $\Gamma$ je gama funkcia. Uvedená rovnica dáva do súvisu hodnotu zeta funkcie v bode s s hodnotou v bode 1-s.

Externé odkazy

• Riemannova zeta funkcia - Wolfram MathWorld (po anglicky).