Stredná kvadratická rýchlosť

Maxwellovo-Boltzmanovo rozdelenie, rozdelenie častíc podľa rýchlosti, pri def. teplote. Vrchol grafu pre každú teplotu zobrazuje strednú kvadratickú rýchlosť. (rovnaký plyn pri rôznej teplote)

Maxwellovo-Boltzmanovo rozdelenie, pre N2, He, H2 podľa rýchlosti čsatíc, pri teplote 273,15 K. Vrchol grafu pre každú teplotu zobrazuje strednú kvadratickú rýchlosť. (rovnaká teplota pre rôzne plyny)

Rôzne rýchlosti častíc plynu

Stredná kvadratická rýchlosť je taká rýchlosť, akú by museli mať všetky častice ideálneho plynu, aby ich celková kinetická energia bola taká istá, aká je ich skutočná celková kinetická energia s reálnymi rýchlosťami. Skutočná celková kinetická energia je súčtom kinetických energií všetkých častíc plynu, keď ich reálne rýchlosti sú rôzne. Je to štatistická veličina.

Rovnica pre strednú kvadratickú rýchlosť

Celkovú kinetickú energiu E_k (J) pre N častíc ideálneho plynu, s rýchlosťou i-tej častice v_i (m/s) a s hmotnosťou jednej častice m₀ (kg) vypočítame ako súčet kinetických energií všetkých N častíc, podľa vzorca:

$E_{k}={\frac {1}{2}}m_{0}(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}+...+v_{N}^{2})={\frac {1}{2}}m_{0}\sum _{i=1}^{N}v_{i}^{2}$

Reálne kvadratické rýchlosti častíc :$(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}+...+v_{N}^{2})$ môžeme nahradiť strednou kvadratickou rýchlosťou v_s:

$v_{s}^{2}=(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}+...+v_{N}^{2})/N$

Pre kinetickú energiu jednej častice plynu E₀ (J) so strednou kvadratickou rýchlosťou v_s (m/s) môžeme písať:

$E_{0}={\frac {1}{2}}m_{0}v_{s}^{2}$

Pretože kinetickú energiu ideálneho plynu je možné vyjadriť aj pomocou Boltzmanovej konštanty $k_{B}=1.380649\cdot 10^{-23}\,\mathrm {J\cdot K^{-1}}$ a teploty plynu T (K):

$E_{0}={\frac {3}{2}}kT$

tak strednú kvadratickú rýchlosť môžeme vyjadriť ako:

$v_{s}={\sqrt {\frac {3kT}{m_{0}}}}$.

Pozoruhodné na tomto vzorci je, že stredná kvadratická rýchlosť závisí okrem hmotnosti častice len na teplote a nie na objeme alebo tlaku, tzn. je úplne jedno, koľko častíc je v danej nádobe. Pri danej teplote majú častice toho istého plynu vždy rovnakú strednú kvadratickú rýchlosť. Hmotnosť jednej častice m₀ v kilogramoch získame ako podiel molárnej hmotnosti a Avogadrovej konštanty.

Stredná a najpravdepodobnejšia rýchlosť

Najpravdepodobnejšia rýchlosť v_n nie je totožná so strednou rýchlosťou v_m, ani so strednou kvadratickou rýchlosťou v_s.

$v_{n}={\sqrt {\frac {2}{3}}}v_{s}=0,816v_{s}$

$v_{m}={\sqrt {\frac {8}{3\pi }}}v_{s}=0,921v_{s}$

Stredná kinetická energia

Rôzne plyny pri rovnakej teplote majú rovnakú strednú kinetickú energiu pohybu molekúl. Kinetickú energiu môžeme vyjadriť aj v elektrónvoltoch jednoduchým prevedením podľa vzorca: 1 eV = 1,602 176 53 E−19 J.

Porovnanie strednej kvadratickej rýchlosti v_s (m/s) a kinetickej energie častice E₀ (eV)
rôznych plynov pri rôznych teplotách

Plyn	Mólová hmotnosť	pri 100 K	pri 300 K	pri 800 K	pri 1500 K
atomárny vodík H	1 g/mol	1579 m/s 0,01 eV	2735 m/s 0,04 eV	4467 m/s 0,1 eV	6117 m/s 0,19 eV
vodík H2	2 g/mol	1117 m/s 0,01 eV	1934 m/s 0,04 eV	3158 m/s 0,1 eV	4325 m/s 0,19 eV
Hélium He	4 g/mol	790 m/s 0,01 eV	1368 m/s 0,04 eV	2233 m/s 0,1 eV	3058 m/s 0,19 eV
Dusík N2	28 g/mol	298 m/s 0,01 eV	571 m/s 0,04 eV	844 m/s 0,1 eV	1156 m/s 0,19 eV

Pozri aj

• Stredná voľná dráha
• Kvadratický priemer
• Maxwellovo-Boltzmanovo rozdelenie
• Molekulová fyzika