Wilksovo lambda rozdelenie

Wilksovo lambda rozdelenie (iné názvy: Wilksovo rozdelenie, Wilksovo rozdelenie Lambda, Lambda rozdelenie, $\Lambda$-rozdelenie) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike viacrozmerné rozdelenie pravdepodobnosti (spojité). Rozdelenie dostaneme súčinom beta rozdelení. Wilksovo lambda rozdelenie je viacrozmerným analógom jednorozmerného F-rozdelenia.

Rozdelenie je pomenované podľa matematika Samuela S. Wilksa.

Definícia

Majme dva matice ${\mathbf {A} }$ a ${\mathbf {B} }$. Nech matica ${\mathbf {A} }$ má p-rozmerné Wishartovo rozdelenie s m stupňami voľnosti, teda: ${\mathbf {A} }\sim {\mathbf {W} _{p}}({\mathbf {I} };m)$ a nech matica ${\mathbf {B} }$ má tiež p-rozmerné Wishartovo rozdelenie s n stupňami voľnosti, teda: ${\mathbf {B} }\sim {\mathbf {W} _{p}}({\mathbf {I} };n)$, pričom platí, že $m\geq p$ a symbolom ${\mathbf {I} }$ označujeme jednotkovú maticu. Nech sú tieto dve matice nezávislé. Potom náhodná veličina $\Lambda$ definovaná nasledovným vzťahom:

${\mathbf {\Lambda } }={\frac {det|{\mathbf {A} }|}{det|{\mathbf {A} }+{\mathbf {B} }|}}=det|{\mathbf {I} }+{\mathbf {A} }^{-1}{\mathbf {B} }|^{-1}$

má Wilksovo lambda rozdelenie s parametrami p, m a n.

Označenie

V literatúre sa prevažne používa označenie veľkým gráckym písmenom lambda ${\mathbf {\Lambda } }(p,m,n)$. Niekedy sa toto rozdelenie označuje aj malým gréckym písmenom lambda ${\mathbf {\lambda } }$.

Vlastnosti a vzťahy

Ako už bolo v úvode spomenuté, náhodná premenná s Wilksovým lambda rozdelením vznikne ako súčin náhodných premenných s beta rozdelením. Uvažujme teda n nezávislých náhodných premenných $A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}$, pričom každá z týchto náhodných premenných má beta rozdelenie, teda:

$A_{j}\sim Beta\left({\frac {m+j-p}{2}};{\frac {p}{2}}\right)$

kde $j=1,2,\cdots ,p$. Potom náhodná premenná definovaná ako súčin: $A=\prod _{j=1}^{p}A_{j}$

má Wilksovo lambda rozdelenie s parametrami p, m a n, teda: $A\sim \Lambda (p,m,n)$.

Existuje niekoľko základných vzťahov medzi $\Lambda$–rozdelením a Fisherovo-Snedecorovým rozdelením. Tieto vzťahy sa dajú odvodiť vďaka tomu, že existujú vzťahy medzi beta rozdelením a Fisherovo-Snedecorovým rozdelením.

• ${\frac {1-{\mathbf {\Lambda } }(p,m,1)}{{\mathbf {\Lambda } }(p,m,1)}}\sim {\frac {p}{m-p+1}}F(p;m-p+1)$

• ${\frac {1-{\mathbf {\Lambda } }(1,m,n)}{{\mathbf {\Lambda } }(1,m,n)}}\sim {\frac {n}{m}}F(n;m)$

• ${\frac {1-{\sqrt {{\mathbf {\Lambda } }(p,m,2)}}}{\sqrt {{\mathbf {\Lambda } }(p,m,2)}}}\sim {\frac {p}{m-p+1}}F(2p;2(m-p+1))$

• ${\frac {1-{\sqrt {{\mathbf {\Lambda } }(2,m,n)}}}{\sqrt {{\mathbf {\Lambda } }(2,m,n)}}}\sim {\frac {n}{m-1}}F(2n;2(m-1))$

V predchádzajúcich vzťahoch sa za parametre p a n použili postupne hodnoty 1 a 2. Pokiaľ chceme dostať nejaký vzťah aj pre iné hodnoty, musíme predpokladať, že parameter m je dostatočne veľký. V takom prípade môžeme použiť Bartlettovu asymptotickú aproximáciu, podľa ktorej platí nasledovné:

$-\left[m-{\frac {p-n+1}{2}}\right]\ln \Lambda (p,m,n)\sim \chi ^{2}(np)$

pričom $\chi ^{2}(np)$ označuje Χ²-rozdelenie s príslušným počtom stupňov voľnosti.

Zdroj

• LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. Pravdepodobnosť a matematická štatistika - Štatistické analýzy. Bratislava : Vydavateľstvo Univerzity Komenského v Bratislave, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Viacrozmerné rozdelenie, s. 344 strán.