Antagonistická hra

Antagonistická hra je podľa teórie hier každá hra dvoch hráčov s konštantným súčtom s úplnou informáciou.

Definícia

Antagonistická hra typu $m*n$ je hra v normálnom tvare $\left\langle I,{Ai:i\in I},{Hi:i\in I}\right\rangle$

• s dvomi racionálnymi hráčmi, t. j. I={1,2},
• s m stratégiami prvého a n stratégiami druhého hráča, t. j. $A1={a1(1),a1(2),...,a1(m)}$, $A2={a2(1),a2(2),...,a2(n)}$,
• s nulovým súčtom, t. j. pre všetky $a1\in A1$, $a2\in A2$ platí $H1(a1,a2)+H2(a1,a2)=0$, alebo $H2(a1,a2)=-H1(a1,a2)$.

Poznámky

• Nulový súčet výplat vyjadruje antagonistickosť hry: záujmy oboch hráčov sú protichodné, výška výhry jedného hráča je presne rovná výške prehry druhého hráča
• Antagonistickú hru môžeme taktiež definovať ako špeciálny prípad bimaticovej hry (H, G), pre ktorú platí: $(\forall i)(\forall j)[gij=-hij]$, alebo takisto $(\forall i)(\forall j)[hij+gij=0]$.
• Vzhľadom k uvedeným vzťahom je zrejmé, že antagonistická hra je jednoznačne určená jedinou ľubovoľne zvolenou maticou z dvojice matíc H, G – preto antagonistické hry nazývame tiež maticovými hrami. Spravidla volíme maticu H, to súvisí s tým, že hru väčšinou komentujeme a analyzujeme z pozície 1. hráča (stotožňujeme sa s ním) a 2. hráčovi prisudzujeme úlohu protivníka.
• Princíp realizácie hry: Hráči volia svoje stratégie navzájom nezávisle. Ak je prvok matice H ležiaci na priesečníku zvolených stratégií (riadku a stĺpca) kladné číslo, tak 1. hráč vyhral a 2.hráč vyplatí 1.hráčovi sumu rovnú tomuto číslu. Ak je hodnota prvku vyjadrená záporným číslom, potom vyhral 2. hráč a 1. hráč vyplatí 2.hráčovi sumu rovnú absolútnej hodnote tohoto záporného čísla.
• Obaja hráči sú pri svojom rozhodovaní plne informovaní (ide o hru s úplnou informáciou), t. j. obaja poznajú celú maticu H. Každý hráč je racionálny, sleduje výhradne svoj záujem a to isté predpokladá i o svojom protivníkovi. Navyše: každý hráč vie, že protivník je racionálny (navyše: každý hráč vie, že každý hráč vie, že protivník je racionálny, atď.). Všetky tieto znalosti tvoria tzv. spoločnú znalosť (common knowledge).
• Antagonistická hra je stále nekooperatívna

Príklad

,

	♣5 (c)	♥3 (d)
♣5 (a)	0	8
♥2 (b)	–7	1
Antagonistická hra

Máme dvoch hráčov. Každý hráč ma 2 karty. Na povel musia obidvaja ukázať jednu z kariet. Ak dôjde ku zhode vo farbe, dostane 1. hráč od druhého absolútnu hodnotu z rozdielu hodnôt ukázaných kariet. Ak sa ukázané karty farbou líšia, tak ten, kto mal vyššiu hodnotu, dostane súčet hodnôt ukázaných kariet.

Ide o nekooperatívnu hru dvoch hráčov s nulovým súčtom. Hodnoty výplatnej funkcie sú v tabuľke vpravo.

Hlavná otázka: Ako hrať túto hru, aby sme získali čo najviac a súčasne sa čo najmenej poškodili pri ťahu protivníka?

Z pozície 1. hráča je nevýhodný spodný riadok (b). Pri ľubovoľnej voľbe 2. hráča je vyšší zisk na hornom riadku (a) – hovoríme, že (b) je dominovaný riadkom (a). To znamená, že v pozícii prvého hráča je potrebné voliť stratégiu ♣5. Pre 2. hráča je celkom nevýhodné zvoliť stĺpec (d), vždy príde o 8 alebo 1 (jednotiek). Stĺpec (d) je dominovaný stĺpcom (c). Druhý hráč bude voliť stratégiu ♣5. Pre obidvoch hráčov sme takto získali „najlepšiu“ voľbu stratégie, aby v rámci pravidiel hry a s ohľadom na voľby protihráča získali „čo najviac“ a stratili „čo najmenej“. Týmito úvahami sme našli optimálnu stratégiu, čo znamená, že pokiaľ sa ktorýkoľvek z hráčov od tejto svojej stratégie odchýli, môže stratiť. Optimálnu stratégiu určil na matici výplat tzv. sedlový bod. Formálne povedané, sedlový bod v matici výplat určuje stratégie x0 (1. hráča) a y0 (2. hráča) tak, že pokiaľ si 1. hráč zvolí ľubovoľnú stratégiu x, ale 2. hráč sa drží optima, 1. hráč si nepolepší, t. j. $Z1(x0,y0)\leq Z1(x0,y0)$. Obdobne to platí pre 2. hráča. Vo výplatných funkciách 1. hráča to znamená, že odchýlka 2. hráča od stratégie y0 môže prilepšiť 1. hráčovi, $Z1(x0,y0)\leq Z1(x0,y0)$. O hodnote výplatnej funkcie $Z1(x0,y0)$ sa hovorí ako o cene hry. Optimálne stratégie x0, y0 sú označované termínom Nashova rovnováha, podľa mena amerického matematika Johna F. Nasha.