Einsteinov vzťah

Rovnica vo Walk of Ideas v roku 2006 v Nemecku

E = mc² na taipeiskom mrakodrape Taipei 101 pri príležitosti Svetového roku fyziky 2005

Einsteinov vzťah je zákon vyjadrujúci vzťah medzi energiou $E\,\!$ a hmotnosťou $m\,\!$ telesa:

$E=m\cdot c^{2}\,\!$

kde c je rýchlosť svetla. Einsteinov vzťah má základný význam v modernej fyzike a astrofyzike; dokazuje, že hmotnosť telesa je mierou obsahu jeho energie.

Rovnica E = mc² opísaná Albertom Einsteinom v špeciálnej teórii relativity patrí medzi najslávnejšie rovnice všetkých dôb; poznajú ju aj ľudia, ktorí sa inak o vedu nezaujímajú. Táto rovnica sa stala akýmsi „maskotom vedy“, používa sa ako príklad „zložitej vedy“, čo pravdaže jej zložitosť preceňuje.

Rovnica popisuje vzťah medzi energiou a hmotnosťou:

Energia = hmotnosť · (rýchlosť svetla)²

Podľa tejto rovnice je celkové množstvo energie, ktorú možno z telesa získať, rovné hmotnosti telesa vynásobené druhou mocninou rýchlosťou svetla. V praxi však možno hmotu na energiu prevádzať obvykle len s výrazne nižšou účinnosťou, preto množstvo získanej energie nikdy nedosahuje tejto úrovne. Pri bežných spôsoboch získavania energie (napr. v jadrových elektrárňach) sa totiž na energiu nepremení všetka hmota, časť (obvykle drvivá väčšina) pôvodnej hmoty zostáva ako „odpad“. Príkladom teoreticky úplnej premeny je reakcia hmoty s antihmotou.

Ako historickú zaujímavosť je možné uviesť, že v pôvodnej podobe Einstein túto rovnicu napísal v tvare m = L / c² (pre energiu použil označenie L namiesto E).

Množstvo energie v jednom kilograme (ľubovolnej) hmoty je teda

• 89 875 517 873 681 764 J (≈ 90 PJ) alebo
• 24 965 421 632 kWh (≈ 25 TWh ≈ celková ročná spotreba elektrickej energie na Slovensku v r. 2005),
• čo odpovedá energii uvoľnenej pri výbuchu viac než 21 megaton TNT.

Odvodenie

Keďže mnoho ľudí vidí v tejto rovnici niečo nepochopiteľného až nadľudského, k jej odvodeniu stačia iba základy integrálneho počtu.

Vyjdeme zo vzťahu pre kinetickú energiu E_k:

$E_{k}=W=\int _{\mathbf {r_{1}} (v_{1}=0)}^{\mathbf {r_{2}} (v_{2}\neq 0)}\mathbf {F} \,\mathrm {d} \mathbf {r} =\int _{\mathbf {r_{1}} }^{\mathbf {r_{2}} }{\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}\,\mathrm {d} \mathbf {r} =\int _{\mathbf {r_{1}} }^{\mathbf {r_{2}} }\mathbf {v} \,\mathrm {d} \mathbf {p} =$

$=\int _{\mathbf {r_{1}} (v_{1}=0)}^{\mathbf {r_{2}} (v)}\mathbf {v} \,\mathrm {d} (m\cdot \mathbf {v} )=$.

Uvažujeme o pôsobení sily rovnobežne s dráhou telesa, možno vynechať vektory:

$=\int _{0}^{v}v(v\mathrm {d} m+m\mathrm {d} v)=\int _{0}^{v}(v^{2}\mathrm {d} m+mv\mathrm {d} v)$,

druhý člen možno upraviť podľa vzťahu pre relativistickú hmotnosť:

$m={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$,

$m^{2}={\frac {m_{0}^{2}}{\frac {c^{2}-v^{2}}{c^{2}}}}$,

$m^{2}(c^{2}-v^{2})=m_{0}^{2}c^{2}\,\!$.

Urobíme diferenciál tejto rovnice,

$2m(c^{2}-v^{2})\mathrm {d} m+m^{2}(-2v\mathrm {d} v)=0\,\!$,

$(c^{2}-v^{2})\mathrm {d} m=mv\mathrm {d} v\,\!$

a dosadíme do pôvodnej rovnice:

$E_{k}=\int _{0}^{v}(v^{2}\mathrm {d} m+(c^{2}-v^{2})\mathrm {d} m)=\int _{0}^{v}(v^{2}\mathrm {d} m+c^{2}\mathrm {d} m-v^{2}dm)=$

$=\int _{0}^{v}c^{2}\mathrm {d} m=c^{2}\int _{0}^{v}1\mathrm {d} m=c^{2}[m]_{0}^{v}=c^{2}(m-m_{0})$

$E_{k}=mc^{2}-m_{0}c^{2}\,\!$.

Na ľavej strane je kinetická energie, $m_{0}c^{2}$ je pokojová energia (chemická, jadrová, potenciálna).

$E=E_{k}+E_{0}=mc^{2}\,\!$

je teda celková energia telesa.