Gaussova veta

Gaussova veta (iné názvy: (Gaussova-)Ostrogradského (integrálna) veta, Gaussova-Ostrogradského formula, Greenova(-Ostrogradského) veta, Greenova transformácia, (Gaussova) veta o divergencii) je veta matematickej analýzy, ktorá uvádza do súvislosti tok vektorového poľa A(r) uzavretou jednoducho súvislou hladkou plochou Σ s integrálom cez objem V plochou uzavrený z divergencie daného vektorového poľa.

$\oint _{\Sigma }\mathbf {A} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\int _{V}({\nabla \cdot \mathbf {A} })\mathrm {d} V$,

kde $\nabla \cdot \mathbf {A}$ je divergencia vektorového poľa $\mathbf {A} (r)$, $\nabla$ je operátor nabla a plocha $\Sigma =\partial V$ je hranica kompaktnej množiny V, ktorá je orientovaná vektorom vonkajšej normály, tzn. $\mathrm {d} \mathbf {S} =\mathbf {n} \mathrm {d} S$ a n je vektor vonkajšej normály plochy, a je regulárna a otvorená množina.

Z fyzikálneho hľadiska vyjadruje Gaussova veta skutočnosť, že tok vektoru A uzavrenou plochou je rovný objemovému integrálu z divergencie vektoru A.

Pre skalárnu veličinu f možno zaviesť jej tok uzavretou plochou S vzťahom

$\int _{V}\nabla f\mathrm {d} V=\oint _{S}f\mathrm {d} \mathbf {S}$

Pre tenzorovú veličinu $T_{ij}$ využijeme skutočnosti, že po kontrakcii je $T_{ij}\mathrm {d} S_{j}$ tenzorom prvého stupňa. Gaussovu vetu pre tenzorovú veličinu potom môžeme vyjadriť ako

$\int _{V}\mathrm {d} V{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}T_{ij}=\oint _{S}T_{ij}\mathrm {d} S_{j}$

Okrem uvedených vzťahov platí pre vektor A tiež vzťah

$\int _{V}\mathrm {rot} \,\mathbf {A} \mathrm {d} V=-\oint _{S}\mathbf {A} \times \mathrm {d} \mathbf {S}$