Integrál

Integrál je spolu s deriváciou najdôležitejší pojem matematickej analýzy. Pojem integrálu je zovšeobecnením pojmov ako plocha, objem, súčet či suma. Integrovanie je opačná operácia k derivovaniu.

Neurčitý integrál

Definícia: Funkcia F sa nazýva primitívna funkcia k funkcii f na otvorenom intervale I, ak platí F' = f na intervale I.

$\int {f(x)}\,\mathrm {d} x=F(x)+c.$

Hľadanie neurčitého integrálu (primitívnej funkcie) je opačný proces k určovaniu derivácie. Pri výpočte sa vychádza zo známych integrálov (tzv. tabuľkové integrály) a využíva sa lineárnosť, metóda per partes a substitučná metóda.

Určitý integrál

Integrál ako plocha pod krivkou.

Jednoducho povedané, určitý integrál nezápornej funkcie f(x) medzi nejakými dvoma bodmi a, b je rovný ploche obrazca ohraničeného priamkami x = a, x = b, osou x a krivkou definovanou funkciou f. Formálnejšie povedané, taký integrál je rovný miere množiny S definovanej ako

$S=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:a\leq x\leq b,0\leq y\leq f(x)\}.$

Integrál sa označuje štylizovaným pretiahnutým písmenom ſ (tzv. dlhé s; z lat. ſumma, summa). Toto značenie zaviedol matematik Gottfried Leibniz.

Integrál opísaný v predchádzajúcom odseku by sa zapísal ako ${\begin{matrix}\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\end{matrix}}$, kde znak ${\begin{matrix}\int \end{matrix}}$ označuje integrovanie, a a b sú integračné medze (len pri určitom integrále), dx označuje premennú, podľa ktorej sa integruje (pôvodne označovalo infinitezimálnu hodnotu, ale dnes slúži len ako rýdzo symbolické označenie bez ďalšieho významu).

Príklad

Plocha pod krivkou f_x=2x+3, pre 4<x<7:

$\int _{4}^{7}{\ 2x+3}\,\mathrm {d} x=\left[x^{2}+3x\right]_{4}^{7}=70-28=42$

Tabuľkové integrály

$\int {0}\,\mathrm {d} x=c$

$\int {x^{n}}\,\mathrm {d} x={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+c;n\in \mathbb {R} -\lbrace -1\rbrace$

$\int {\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x=\ln |x|+c$

$\int {a^{x}}\,\mathrm {d} x={\frac {a^{x}}{\ln a}}+c;a\in {\mathbb {R} }^{+}-\lbrace 1\rbrace$

$\int {e^{x}}\,\mathrm {d} x=e^{x}+c$

$\int {\sin x}\,\mathrm {d} x=-\cos x+c$

$\int {\cos x}\,\mathrm {d} x=\sin x+c$

$\int {\frac {1}{\sin ^{2}x}}\,\mathrm {d} x=-\operatorname {cotg} \,x+c$

$\int {\frac {1}{\cos ^{2}x}}\,\mathrm {d} x=\operatorname {tg} \,x+c$

$\int {1}\,\mathrm {d} x=x+c$

Aplikované tabuľkové integrály

$\int {\frac {1}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\int {x^{-2}}\,\mathrm {d} x={\frac {x^{-2+1}}{-2+1}}+c=-{\frac {1}{x}}+c$

Presnejšia definícia

Existuje veľa definícií integrálu, ktoré pre rozumne správajúce sa funkcie^{[chýba zdroj]} vedú k rovnakým výsledkom. Z nich najdôležitejšie sú Riemannov integrál a Lebesgueov integrál.

Riemannov integrál navrhol Bernhard Riemann roku 1854 a išlo o prvú definíciu integrálu zodpovedajúcu dnešným pomerom. Lebesgueov integrál vytvoril Henri Lebesgue. Lebesgueov integrál a ďalšie, ešte pokročilejšie integrály, umožňujúce integrovať širšie triedy funkcií, platia pre ne silnejšie verzie mnohých tvrdení a poskytujú mnohé výhody. Patrí sem napríklad Kurzweilov integrál.

Komplexný integrál

V komplexných číslach sa spravidla používajú krivkové integrály. Ak tieto integrály prebiehajú po uzavretej krivke v komplexnej rovine, potom je spravidla možné ich spočítať pomocou reziduálnej vety, Cauchy-ovho vzorca alebo Cauchy-ovej vety.