Horný odhad

Horný odhad alebo majoranta, je matematický pojem z teórie usporiadania.

Definícia

Ak je množina A usporiadaná reláciou $R$ a B je podmnožina A, potom prvok $a\in A$ je horným odhadom B, práve keď $(\forall b\in B)(b\leq a)$ .

Množina $B\subseteq A$ je zhora obmedzená, pokiaľ pre ňu existuje aspoň jeden horný odhad.

Vlastnosti horného odhadu

Pokiaľ má množina $B\subseteq A$ najväčší prvok, potom je tento prvok horným odhadom.
Pomocou pojmu horný odhad sa definuje pojem supremum množiny ako najmenší prvok množiny (alebo triedy) všetkých horných odhadov (pokiaľ táto množina má najmenší prvok).

Príklady

Nech A je množina všetkých reálných čísiel (A = R), B je množina všetkých reálnych čísiel x takých, že x² < 3 a nech R je relácia obvyklého ostrého usporiadania reálnych čísiel (tj. R = <). Potom B pri usporiadaní R je napríklad číslo 10. Najmenším odhadom je číslo $s={\sqrt {3}}$ .

Nech A je trieda všetkých ordinálnych čísiel (A = On), B je množina všetkých konečných ordinálnych čísiel (tj. množina prirodzených čísiel) a R = $\in$ je usporiadanie na triede On. Potom majorantou B pri usporiadaní R je každé nekonečné ordinálne číslo, najmenšou majorantou je číslo $s=\omega \,(=\aleph _{0})$ .

Pozri aj

Zdroj

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Majoranta na českej Wikipédii.