Určitý integrál

Určitý integrál je integrál vztiahnutý (na rozdiel od neurčitého integrálu) na interval, pričom rozsah intervalu ovplyvňuje hodnotu integrálu. Výsledkom určitého integrálu je zvyčajne nejaké číslo.

Určitý integrál značíme podobne ako integrál neurčitý, navyše však vyznačujeme interval, na ktorom integrujeme. Napr. integrál funkcie $\displaystyle f(x)$ na intervale $I=\langle a,b\rangle$ značíme

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$

alebo

$\int _{I}f(x)\,\mathrm {d} x$

Pri integrácii určitých integrálov často používame metódy, ktoré sa používajú pri integrácii neurčitých integrálov, napr. substitučnú metódu či metódu per partes.

Aplikácie

Určitý integrál nachádza svoje opodstatnenie vo väčšine prípadov v oblastiach techniky, fyziky a aplikovanej matematiky. Existujú viaceré definície pre rôzne druhy výpočtu určitých integrálov, no popisujú rovnaký jav. V geometrii sa často stretávame s výpočtom plochy (obsahu) rôznych rovinných útvarov alebo s výpočtami objemov priestorových telies. Problémom na riešenie však bolo vypočítať obsah plochy pod grafom funkcie. Nebolo veľmi náročné objaviť spôsob ako približne vypočítať plochu pod grafom. Jedným a najznámejším zo spôsobov je rozdelenie plochy na menšie obdĺžnikové elementy. Problémom bolo objaviť teóriu, podľa ktorej by bolo možné vypočítať obsah absolútne presne. Tento problém vyriešili a formálne definovali Isaac Newton a Gottfried Leibniz.

Obsah plochy pod grafom funkcie

Odvodenie

Ak by sme rozdelili plochu pod grafom funkcie na intervale $\langle a,b\rangle$ na veľmi tenké obdĺžniky so stranou $\Delta x$ a výškou $f(x)$, tak ich obsahy je možné zapísať nasledovne
${\begin{array}{l}s_{0}=\Delta x\cdot f(a)\\s_{1}=\Delta x\cdot f(x_{1})\\s_{2}=\Delta x\cdot f(x_{2})\\\vdots \\s_{n}=\Delta x\cdot f(b)\end{array}}$
Pre interval, na ktorom počítame obsah platí $\langle a=x_{0},x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n-1},b=x_{n}\rangle$. Ak budeme čoraz viac hodnôt $x_{i}$ "natláčať" do intervalu, tým bude obsah plochy presnejší. Logicky sa teda naskytuje úvaha, že $n\rightarrow \infty$. Je možné potom formálne zapísať daný súčet
$S=\lim _{k\to \infty }\sum _{n=0}^{k}\Delta x\cdot f(x_{n})=\int _{a}^{b}f(x)\,{\textrm {d}}x$
Tento súčet sa nazýva určitý integrál funkcie $f$ na intervale $\langle a,b\rangle$

Newtonov-Leibnizov vzorec na výpočet určitého integrálu

Nech je funkcia $f$ spojitá na intervale $\langle a,b\rangle$ a existuje k nej primitívna funkcia $F$. Potom platí
$\int _{a}^{b}f(x)\,{\textrm {d}}x=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)$
Tento vzťah využíva k vyčísleniu určitého integrálu primitívnu funkciu. Pri výpočte sa používajú klasické integračné metódy cez tabuľkové integrály, substitučnú metódu alebo integrovanie per partes.

Príklad

Vypočítajte obsah plochy $M=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}|\,2\leq x\leq 4,0\leq y\leq x\ln x\}$. Hranice integrovania popisuje zadaná množina bodov v rovine. Počítame teda určitý integrál s využitím metódy per partes
$\int _{2}^{4}x\ln x\,{\textrm {d}}x=\left[{\frac {x^{2}\ln x}{2}}\right]_{2}^{4}-{\frac {1}{2}}\int _{2}^{4}x^{2}\cdot {\frac {1}{x}}\,{\textrm {d}}x=(8\ln 4-2\ln 2)-{\frac {1}{2}}\left[{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{2}^{4}=\ln {\frac {4^{8}}{2^{2}}}-(4-1)=14\ln 2-3$

Objem rotačného telesa

Odvodenie

Vzorec pre výpočet objemu rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou krivky (grafu funkcie) okolo osi x, sa odvodí taktiež pomocou veľmi malých elementov, tentokrát valcov. Predstavou, že teleso rozdelíme na veľmi tenké platne, sa ľahko odvodí daný vzťah. Skutočnosť, že nemusí ísť presne o valec, ale o zrezaný kužeľ, je zanedbateľná, nakoľko pracujeme s nekonečne malými priestorovými útvarmi. Jeden taký valec bude mať objem
$v=\pi \cdot f^{2}(x)\cdot {\textrm {d}}x$
pričom vychádzame zo vzťahu pre výpočet objemu valca, kde v danom prípade je polomer podstavy rovný funkčnej hodnote a výška je nekonečne malé ${\textrm {d}}x$. Súčtom všetkých takých valcov dostaneme podobnou úvahou ako pri určovaní plochy, vzorec
$\int _{a}^{b}\pi \cdot f^{2}(x)\cdot {\textrm {d}}x=\pi \int _{a}^{b}f^{2}(x)\,{\textrm {d}}x$

Príklad

Odvodíme vzorec pre objem rotačného kužeľa. Nechajme rotovať okolo osi x funkciu $f(x)=kx$ na intervale $\langle 0,v\rangle$, kde $v$ označuje výšku kužeľa a $k$ je smernica. Dosadením do vzťahu
V=$\pi \int _{0}^{v}k^{2}x^{2}\,{\textrm {d}}x=\pi k^{2}\left[{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{0}^{v}={\frac {v^{3}k^{2}\pi }{3}}$ Pre smernicu $k$ platí, že je to tangens uhla, ktorý zviera priamka s osou x. Preto $k=\tan \phi =r/v$. Dosadením do výsledku dostaneme konečný vzorec
$V={\frac {v^{3}r^{2}\pi }{3v^{2}}}={\frac {\pi r^{2}v}{3}}$

Fyzikálne aplikácie

Vo fyzike sa používa široké spektrum integrálov, ako napríklad dvojný, trojný, krivkový integrál. Mnoho integrálov sa používa pri výpočtoch z oblasti elektriny a magnetizmu ako napríklad Maxwellove rovnice využívajúce integrál vektorového poľa. Veľký pokrok nastal po objavení integrálu aj v oblasti astrofyziky a astronómie.

Výpočet práce

Na výpočet celkovej práce sa využíva vzťah
$\mathbf {W} =\int _{s_{1}}^{s_{2}}\mathbf {F} (s)\,{\textrm {d}}s$

Výpočet hustoty

Vzorec pre výpočet hustoty vychádza z Pascalovho zákona
$P=\varrho g\int _{a}^{b}h\mathbf {S} (h)\,{\textrm {d}}h$