Kofinál

Kofinál a kofinálnosť limitného ordinálneho čísla je matematický pojem z oblasti teórie množín (ordinálnej aritmetiky). Je to jedna zo základných charakteristík limitných ordinálnych čísel, vyjadruje „mieru prístupnosti horných úrovní ordinálneho čísla“.

Definícia

Pojem kofinálnosti má zmysel definovať len pre limitné ordinálne čísla. Ďalej teda $\alpha ,\,\beta$ budú označovať ľubovolné ordinálne čísla a $\gamma ,\,\delta$ budú označovať vždy limitné ordinálne čísla.

Kofinálna podmnožina

Povedzme, že množina $A\subseteq \gamma$ je kofinálnou podmnožinou $\gamma$ , ak existuje pre každé $\alpha \,<\,\gamma$ také $\beta \in A$ , že $\alpha \,\leq \,\beta$ . Hovoríme tiež, že A je kofinálne s $\gamma$ .

Napríklad

množina $A=\{\omega +\alpha ;\alpha \in \omega \}$ je kofinálna podmnožina ordinálu $\omega \,+\,\omega$ .
množina $A=\{\delta \cdot \alpha +\alpha ;\alpha \in \delta \}$ je kofinálna podmnožina ordinálu $\delta \cdot \delta$ .
množina $A=\{\aleph _{\alpha };\alpha \in \gamma \}$ je kofinálna podmnožina ordinálu $\aleph _{\gamma }$ pre každé $\gamma \,>\,\omega$ .

Kofinál a kofinálnosť

Kofinálom limitného ordinálu $\gamma$ rozumieme najmenšie ordinálne číslo $\alpha$ také, že existuje množina $A\subseteq \gamma$ kofinálna s $\gamma$ , ktorej ordinálnym typom je $\alpha$ (tj. A je $\in$ -izomorfná s $\alpha$ ). Kofinál limitného ordinálneho čísla $\gamma$ sa značí $\,cf(\gamma )$ .

Kofinálnosťou $\gamma$ rozumieme mohutnosť (kardinalitu) $\,cf(\gamma )$ . Dá sa ukázať, že pre každé $\gamma$ je $\,cf(\gamma )$ kardinálne číslo, a teda pojmy kofinál a kofinálnosť splývajú.

Napríklad

$cf(\omega +\omega )\,=\,\omega$
$cf(\delta \cdot \delta )=\delta$
$cf(\aleph _{\gamma })\,=\,cf(\gamma )$ pre každé $\gamma \,>\,\omega$

Regulárny a singulárny ordinál

Limitné ordinálne číslo, ktoré sa rovná svojej kofinálnosti sa nazýva regulárne. V opačnom prípade (ak je kofinálnosť menšia) sa nazýva singulárne.

Vlastnosti

Pre každé limitné ordinálne číslo $\gamma$ platí $\omega \,\leq \,cf(\gamma )\,\leq \,\gamma$
Pre každé limitné ordinálne číslo $\gamma$ platí $cf(cf(\gamma ))\,=\,cf(\gamma )$ .
Pre všetky $\gamma$ je $\,cf(\gamma )$ kardinálne číslo.

Ďalej za predpokladu axiómu výberu:

Pre každé nekonečné kardinálne číslo $\kappa$ platí $\kappa \,<\,\kappa ^{cf(\kappa )}$ .

Pozri aj