Mohutnosť (množina)

Mohutnosť alebo kardinalita je zovšeobecnením pojmu počet prvkov množiny.

Symbol, ktorým sa označuje mohutnosť množiny sa zvykne nazývať kardinálne číslo. Pre konečné množiny je to prirodzené číslo rovné počtu prvkov množiny.

Mohutnosť sa používa na porovnávanie "veľkosti" množín. Dve množiny sú rovnako mohutné, ak medzi nimi existuje bijekcia.

Poznámka: Vo filozofii sa hovorí o definícii abstrakciou: "Mohutnosť" je to, čo je spoločné množinám rovnakej mohutnosti. (Lev Bukovský)

Platí

• Dve množiny A, B majú rovnakú mohutnosť (sú rovnako mohutné), ak sa dá zostrojiť bijektívne zobrazenie množiny A na množinu B. Píšeme |A|=|B|
• Množina A má mohutnosť menšiu alebo rovnakú ako množina B, ak existuje prosté zobrazenie f množiny A do množiny B. Píšeme |A| ≤ |B|.
• Množina A má mohutnosť menšiu ako B, ak |A| ≤ |B| a neplatí |A|=|B|.
• Pre konečné množiny je mohutnosť prirodzené číslo rovné počtu prvkov množiny.
• Množina A je konečná, ak |A|<|N|. Prirodzené čísla sú mohutnosti konečných množín.
• Množina A sa nazýva spočítateľná množina, ak |A| ≤ |N|. Množina, ktorá nie je spočítateľná, sa nazýva nespočítateľná množina.
• Mohutnosť množiny prirodzených čísel označujeme znakom $\aleph _{0}$ (alef).
• Množiny Z a Q sú spočítateľné množiny, s mohutnosťou $\aleph _{0}$, rovnako ako množina N, inak povedané, množiny N, Z a Q majú rovnaký počet prvkov! (existuje medzi nimi bijektívne zobrazenie)
• Zjednotenie spočítateľného množstva spočítateľných množín je spočítateľná množina.
• Zjednotenie čo i len jednej nespočítateľnej množiny a spočítateľnej množiny (môžu byť aj disjunktné, t. j. ich prienik je prázdna množina, t. j. nemajú spoločné prvky), je nespočítateľná množina
• Množina R je nespočítateľná množina. Mohutnosť |R| sa označuje c a nazýva sa mohutnosť kontinua. Vzhľadom na to, že R = Q U I (kde Q je množina racionálnych a I množina iracionálnych čísel, Q a I sú disjunktné množiny) a množina Q je spočítateľná (s mohutnosťou $\aleph _{0}$), jediná možnosť ako môže byť množina R reálnych čísel nespočítateľná je, že množina I iracionálnych čísel je nespočítateľná s mohutnosťou kontinua $c$. T.j. množiny I a R majú rovnaký počet prvkov! Pejoratívne povedané množina Q množine R vôbec nepridáva na veľkosti, t. j. monutnosti (tvorí len akýsi "prívesok") a stáva sa v porovnaní s R a I čo do mohutnosti úplne zanedbateľnou, resp. iracionálnych čísel je oveľa viac ako racionálnych.
• Potenčná množina (t. j. množina všetkých podmnožín) nekonečnej spočítateľnej množiny s mohutnosťou $\aleph _{0}$, je nekonečná avšak už nespočítateľná množina. Pri konečnej množine s $n$ prvkami sa dá ľahko dokázať, ze potenčná množina $n$-prvkovej množiny má $2$^$n$ prvkov. Dá sa dokázať, že medzi mohutnosťou $\aleph _{0}$ množiny N (resp. Z, Q) a monutnosťou $c$ množiny R, platí nasledujúci vztah, podľa ktorého možno tvrdiť, že potenčná množina (množina všetkých podmnožín) množiny N je už množina s inou mohutnosťou (konkrétne s mohutnosťou množiny R), t. j. pejoratívne povedané nekonečná množina všetkých podmnožín nekonečnej množiny N ,je už množina iného typu, množina nad úrovňou množiny N:
• $c=2$^{$\aleph _{0}$} (t. j. $c>\aleph _{0}$)

Aritmetické operácie nad mohutnosťami množín

Sčítanie

Mohutnosť množiny C je súčet mohutností množín A, B, ak existujú také podmnožiny A₁, B₁ množiny C, pre ktoré platí:
A₁ ∩ B₁= 0, A₁ U B₁=C a |A₁|=|A|, |B₁|=|B|. Označujeme |C|=|A|+|B|

Súčin

Mohutnosť množiny C je súčin mohutností množín A, B ak platí C=A x B (karteziánsky súčin množín A a B) a píšeme |C|=|A|.|B|

Umocňovanie

Mohutnosť množiny C je mohutnosť množiny A umocnená na mohutnosť množiny B, ak C=A x A x A x .... x A (b-nasobný karteziánsky súčin množiny A, keď |B|=b), čo zapisujeme |C|=|^BA|.

Paradoxy

• $\aleph _{0}+1$ = $\aleph _{0}$
• $\aleph _{0}+2$ = $\aleph _{0}$
• $\aleph _{0}+3$ = $\aleph _{0}$
• $\aleph _{0}+n$ = $\aleph _{0}$, kde $n$ je prirodzené číslo

...

• $\aleph _{0}$ + $\aleph _{0}$ = $2\aleph _{0}$ = $\aleph _{0}$
• $3\aleph _{0}$ = $\aleph _{0}$
• $4\aleph _{0}$ = $\aleph _{0}$
• $n\aleph _{0}$ = $\aleph _{0}$, kde $n$ je prirodzené číslo

...

• $\aleph _{0}$$\aleph _{0}$ = $\aleph _{0}^{2}$ = $\aleph _{0}$
• $\aleph _{0}^{3}$ = $\aleph _{0}$
• $\aleph _{0}^{4}$ = $\aleph _{0}$
• $\aleph _{0}^{n}$ = $\aleph _{0}$, kde $n$ je prirodzené číslo

Tie isté paradoxné tvrdenia platia aj o kardinálnom čísle množiny reálnych čísel.

Geometrickú interpretáciu týchto paradoxov možno chápať tak, že:

• Úsečka istej (konečnej dĺžky) má rovnako veľa bodov ako úsečka predĺžená o jednotkovú úsečku, resp. o ľubovoľný násobok jednotkovej úsečky (úsečky s dĺžkou jednej jednotky)
• Úsečka istej (konečnej dĺžky) má rovnako veľa bodov ako úsečka dvojnásobnej, trojnásobne, štvornásobnej dĺžky, či dĺžky ľubovoľného násobku, v konečnom dôsledku až:
• Úsečka má rovnako veľa bodov ako priamka (medzi bodmi ľubovoľne krátkej úsečky s nenulovou dĺžkou a nekonečne dlhou priamkou existuje bijekcia)

ďalej

• Úsečka má rovnako veľa bodov ako štvorec so stranou dĺžky onej úsečky a aplikáciou poznatku o ekvivalencii úsečky a priamky dostávame, že výsledný štvorec má rovnako veľa bodov ako celá rovina a tým pádam aj úsečka
• Úsečka má rovnako veľa bodov ako kocka s hranou dĺžky onej úsečky a aplikáciou poznatku o ekvivalencii úsečky a priamky dostávame, že výsledná kocka má rovnako veľa bodov ako celý priestor a tým pádam aj úsečka
• Úsečka má rovnako veľa bodov ako tessaract (4-rozmerná analógia "kocky") s hranou dĺžky onej úsečky a aplikáciou poznatku o ekvivalencii úsečky a priamky opäť dostávame, že úsečka má rovnako veľa bodov ako 4D priestor
• Úsečka má rovnako veľa bodov ako penteract (5-rozmerná analógia "kocky") s hranou onej dĺžky a aplikáciou poznatku o ekvivalencii úsečky a priamky opäť dostávame, že úsečka má rovnako veľa bodov ako 5D priestor

...

• Úsečka má rovnako veľa bodov ako n-simplex (n-rozmerná analógia "kocky") s hranou onej dĺžky a aplikáciou poznatku o ekvivalencii úsečky a priamky opäť dostávame, že úsečka má rovnako veľa bodov ako celý $n$-rozmerný priestor! ($n$ je prirodzené číslo)