Kolinearita

Body A, B a C sú kolineárne.

Kolinearita je termín používaný v geometrii na označenie situácie, keď dva alebo viac bodov ležia na rovnakej priamke. Overenie, či sú skúmané tri body v karteziánskej sústave súradníc kolineárne alebo nie sa môže vykonať viacerými spôsobmi.

Tento článok pojednáva o skúmaní kolineárnosti bodov v priestore ${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$.

Pomocou lineárnej rovnice

Lineárna rovnica má viacero foriem:

• štandardná forma má tvar ${\textstyle ax+by-c=0}$
• forma smernica/priesečník s osou y má tvar ${\textstyle mx+b-y=0}$
• forma smernica/bod má tvar ${\textstyle m(x-x_{A})+y_{A}-y=0}$
• dvojbodová forma má tvar ${\textstyle {\frac {y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}}(x-x_{A})+y_{A}-y={\frac {y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}}(x-x_{B})+y_{B}-y=0}$
• priesečníková forma má tvar ${\textstyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}-1=0}$

V nasledujúcich príkladoch sa budú používať body ${\textstyle A(x_{A}=-7,y_{A}=5)}$ a ${\textstyle B(x_{B}=-1,y_{B}=1)}$, ktoré budú definovať priamku a bod ${\textstyle C(x_{C}=3.5,y_{C}=-2)}$, ktorý sa bude testovať na kolineárnosť s bodmi ${\textstyle A}$ a ${\textstyle B}$.

Štandardná forma

Štandardná lineárna rovnica je ${\textstyle ax+by=c}$ respektíve ${\textstyle ax+by-c=0}$ pre ${\textstyle a,b,c\in \mathbb {N} }$ kde sa jednotlivé koeficienty, pokiaľ nie sú známe, vypočítajú z karteziánskych súradníc dvoch bodov ležiacich na priamke (pozri exkurz nižšie). Pokiaľ súradnice testovaného bodu vyhovujú tejto rovnici je kolineárny. Tento spôsob je vhodný aj pre priamky rovnobežné s osou ${\textstyle y}$, ktorých smernica nie je definovaná.

Pre vyššie uvedené body ${\textstyle A}$ a ${\textstyle B}$ má štandardná rovnica tvar

$-4x-6y=-2$.

Po dosadení súradníc testovaného bodu ${\textstyle C}$

${\begin{aligned}-4\times 3.5-6\times (-2)&=-2\\-14+12&=-2\\-2&=-2\\\end{aligned}}$

Exkurz: Koeficienty štandardnej formy lineárnej rovnice sa z karteziánskych súradníc dvoch bodov vypočítajú nasledovne:

${\begin{aligned}a&=y_{B}-y_{A}\\b&=-(x_{B}-x_{A})=x_{A}-x_{B}\\c&=x_{A}y_{B}-x_{B}y_{A}\\\end{aligned}}$.

Po dosadení:

${\begin{aligned}a&=1-5=-4\\b&=-(-1-(-7))=-6{\text{ alebo }}-7-(-1)=-6\\c&=-7\times 1-(-1)\times 5=-7-(-5)=-2\\\end{aligned}}$.

Štandardná forma ${\textstyle ax+by=c}$ teda bude:

$-4x-6y=-2$

Skúška pre bod ${\textstyle A(-7,5)}$:

${\begin{aligned}-4\times (-7)-6\times 5&=-2\\28-30&=-2\\-2&=-2\\\end{aligned}}$

Skúška pre bod ${\textstyle B(-1,1)}$:

${\begin{aligned}-4\times (-1)-6\times 1&=-2\\4-6&=-2\\-2&=-2\\\end{aligned}}$.

Po dosadení súradníc bodu ${\textstyle C}$ do štandardnej lineárne rovnice sú si obe strany rovnice rovné a teda bod ${\textstyle C}$ je kolineárny s bodmi ${\textstyle A}$ a ${\textstyle B}$. Týmto spôsobom je možné testovať na kolineárnosť neobmedzený počet bodov.

Koniec exkurzu.

Forma smernica/priesečník s osou y

Ak sú definované v karteziánskej sústave dva body ${\textstyle A(x_{A},y_{A})}$ a ${\textstyle B(x_{B},y_{B})}$ určí sa z nich lineárna funkcia ${\textstyle y=mx+k}$, kde ${\textstyle m}$ je smernica priamky a ${\textstyle k}$ je absolútny člen rovnice s hodnotou, na ktorej priamka pretína osu ${\textstyle y}$. Smernica sa vypočíta podľa rovnice

$m={\frac {y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}}$

a absolútny člen podľa rovnice

$k=y-mx$,

do ktorej je možné dosadiť súradnice buď bodu ${\textstyle A}$ alebo bodu ${\textstyle B}$. Samotné testovanie kolineárnosti spočíva v tom, že súradnice testovaného bodu sa dosadia do lineárnej rovnice, ktorej smernica a absolútna hodnota sú už známe a zistí sa či sú obe strany rovnaké. V takom prípade je testovaný bod kolineárny s dvojicou bodov, z ktorých sa daná smernica a absolútny člen vypočítali. Tento spôsob nie je možný použiť na priamky rovnobežné s osou ${\textstyle y}$ pretože pre také priamky nie je definovaná smernica.

Príklad.

Sú definované body ${\textstyle A(-7,5)}$ a ${\textstyle B(-1,1)}$, z ktorých sa vypočíta ${\textstyle m}$ a ${\textstyle k}$:

$m={\frac {1-5}{-1-(-7)}}={\frac {-4}{6}}=-0.{\dot {6}}$

$k={\overbrace {5-(-0.{\dot {6}})\times (-7)} ^{{\text{podľa }}A(-7,5)}}=5-4.{\dot {6}}=0.{\dot {3}}$

$k={\overbrace {1-(-0.{\dot {6}})\times (-1)} ^{{\text{podľa }}B(-1,1)}}=1-0.{\dot {6}}=0.{\dot {3}}$.

Ďalej je definovaný bod ${\textstyle C(3.5,-2)}$, ktorého kolinearita s bodmi ${\textstyle A}$ a ${\textstyle B}$ sa skúma pomocou lineárnej funkcie.

$-2=-0.{\dot {6}}\times 3.5+0.{\dot {3}}=-2.{\dot {3}}+0.{\dot {3}}=-2$

Po dosadení súradníc bodu ${\textstyle C}$ do rovnice sú si obe strany rovné a teda bod ${\textstyle C}$ je kolineárny s bodmi ${\textstyle A}$ a ${\textstyle B}$. Týmto spôsobom je možné testovať na kolineárnosť neobmedzený počet bodov.

Forma smernica/bod

Z dvojice bodov ${\textstyle A}$ a ${\textstyle B}$ sa vypočíta smernica priamky ${\textstyle m}$, na ktorej ležia (pozri forma smernice/priesečník s osou y). V samotnej rovnici sa pri testovaní kolineárnosti s bodom ${\textstyle C}$ použijú súradnice jedného z bodov ${\textstyle A}$ a ${\textstyle B}$. Nakoľko táto forma rovnice obsahuje smernicu nie je možné ju použiť pre priamky rovnobežné s osou ${\textstyle y}$. Platia teda ekvivalentné rovnice

${\textstyle m(x_{C}-x_{A})+y_{A}-x_{C}=0}$

alebo

${\textstyle m(x_{C}-x_{B})+y_{B}-x_{C}=0}$

Príklad.

${\textstyle {\begin{aligned}\overbrace {-0.{\dot {6}}(3.5-(-7))+5-(-2)} ^{{\text{Podľa }}A(-7,5)}&=0\\-0.{\dot {6}}\times 10.5+7&=0\\-6.{\dot {9}}+7&=0\\0&=0\\\end{aligned}}}$

${\textstyle {\begin{aligned}\overbrace {-0.{\dot {6}}(3.5-(-1))+1-(-2)} ^{{\text{Podľa }}B(-1,1)}&=0\\-0.{\dot {6}}\times 4.5+3&=0\\-2.{\dot {9}}+3&=0\\0&=0\\\end{aligned}}}$.

Dvojbodová forma

Jedná sa o formu lineárnej rovnice ako pri forme smernica/bod s tým, že namiesto premennej ${\textstyle m}$ s hodnotou smernice priamky sa vkladá namiesto nej samotný vzorec pre výpočet smernice priamky. Tento spôsob nie je možné použiť pre situácie s priamkou rovnobežnou s osou ${\textstyle y}$.

Priesečníková forma

Pre tento spôsob, ako napovedá názov, je nutné poznať priesečníky ${\textstyle a}$ (na ose ${\textstyle x}$) a ${\textstyle b}$ (na ose ${\textstyle y}$) priamky s hlavnými osami karteziánskej sústavy súradníc ${\textstyle x}$ a ${\textstyle y}$. Pre výpočet priesečníkov pozri exkurz nižšie. Do takejto lineárnej rovnice sa dosadia len súradnice testovaného bodu ${\textstyle C}$.

${\textstyle {\begin{aligned}{\frac {x_{C}}{a}}+{\frac {y_{C}}{b}}-1&=0\\{\frac {3.5}{0.5}}+{\frac {-2}{0.{\dot {3}}}}-1&=0\\7+(-6)-1&=0\\0&=0\\\end{aligned}}}$.

Exkurz: Priesečníky priamky s hlavnými osami karteziánskej sústavy súradníc ${\textstyle x}$ a ${\textstyle y}$. Pre ich výpočet je možné napríklad použiť lineárnu rovnicu ${\textstyle y=mx+k}$ (forma smernica/priesečník s osou ${\textstyle y}$) kde ${\textstyle k}$ je priesečník s osou ${\textstyle y}$. Pre výpočet smernice a priesečníku pozri odstavec týkajúci sa formy smernica/priesečník s osou ${\textstyle y}$. Priesečník s osou ${\textstyle x}$ (teda x-ovú súradnicu) nájdeme vyriešením upravenej lineárnej rovnice pre ${\textstyle y=0}$

$x={\frac {y-k}{m}}$.

Z predchádzajúcich príkladov je známe, že

$m=-0,{\dot {6}}$

a

$k=(b)=0.{\dot {3}}$.

Po dosadení do upravenej lineárnej rovnice získame

$a={\frac {0-0.{\dot {3}}}{-0.{\dot {6}}}}={\frac {-0.{\dot {3}}}{-0.{\dot {6}}}}=0.5$.

Súradnice priesečníkov sú ${\textstyle P_{y}(0,b)=(0,0.{\dot {3}})}$ na ose ${\textstyle y}$ a ${\textstyle P_{x}(a,0)=(0.5,0)}$ na ose ${\textstyle x}$.

Koniec exkurzu.

Pomocou determinantu matice

Ak sa dosadia súradnice bodov ${\textstyle A(x_{A},y_{A})}$, ${\textstyle B(x_{B},y_{B})}$ a ${\textstyle C(x_{C},y_{C})}$ do matice s rozmermi ${\textstyle 3\times 3}$ ako je uvedené nižšie a vypočíta sa determinant tejto matice, tak potom v prípade, že sa tento determinant rovná nule sú body ${\textstyle A}$, ${\textstyle B}$ a ${\textstyle C}$ kolineárne.

${\text{det}}\left({\begin{bmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\\\end{bmatrix}}\right)=0$

Pomocou obsahu trojuholníka

K trom bodom ${\textstyle A(x_{A},y_{A})}$, ${\textstyle B(x_{B},y_{B})}$ a ${\textstyle C(x_{C},y_{C})}$, u ktorých sa má zistiť či sú alebo nie sú kolineárne, je možné pristupovať ako k vrcholom trojuholníka ${\textstyle ABC}$, ktorého obsah sa vypočíta podľa vzorca:

$S_{ABC}={\frac {1}{2}}|(x_{A}(y_{B}-y_{C})+x_{B}(y_{C}-y_{A})+x_{C}(y_{A}-y_{B}))|$.

Ak platí ${\textstyle S_{ABC}=0}$ tak body ${\textstyle A}$, ${\textstyle B}$ a ${\textstyle C}$ sú kolineárne.

Pomocou vzájomnej vzdialenosti bodov

Pokiaľ sa vypočítajú vzájomné vzdialenosti medzi troma skúmanými bodmi, tak v prípade, že sú kolineárne, sa najdlhšia vzdialenosť musí rovnať súčtu dvoch ostatných. Vzdialenosť ${\textstyle d}$ dvoch bodov ${\textstyle P_{1}(x_{1},y_{1})}$ a ${\textstyle P_{2}(x_{2},y_{2})}$ v karteziánskej sústave súradníc sa vypočíta podľa

$d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$.

Pomocou euklidovskej konštrukcie

Euklidovská konštrukcia pre kolinearitu bodu C s bodmi A a B.

Jedna z mnohých euklidovských konštrukcií na testovanie kolinearity bodu ${\textstyle C}$ a bodmi ${\textstyle A}$ a ${\textstyle B}$ môže vyzerať napríklad nasledovne.

Krok 1: Zostrojenie priamky ${\textstyle \color {green}p}$ prechádzajúcej bodmi ${\textstyle A}$ a ${\textstyle B}$.

Krok 2: Zostrojenie kružnice ${\textstyle \color {blue}a}$ so stredom v bode ${\textstyle A}$ s polomerom ${\textstyle r_{A}}$, pre ktorý platí nerovnosť ${\textstyle {\frac {1}{2}}|AB|<r_{A}<|AB|}$.

Krok 3: Analogicky ako v kroku 2 pre kružnicu ${\textstyle \color {blue}b}$, čím vznikne prienik dvoch kružníc v dvoch bodoch ${\textstyle P}$ a ${\textstyle Q}$ (preto je nutná nerovnica polomerov, aby nedošlo k situácii, že sa kružnice nebudú dotýkať alebo sa budú dotýkať len v jednom bode).

Krok 4: Zostrojenie kružnice ${\textstyle \color {red}c}$ so stredom v testovanom bode ${\textstyle C}$, ktorá prechádza bodom ${\textstyle P}$. Ak prechádza aj bodom ${\textstyle Q}$ je bod ${\textstyle C}$ kolineárny s bodmi ${\textstyle A}$ a ${\textstyle B}$.

Alebo.

Krok 4: Zostrojenie kružnice ${\textstyle \color {red}c}$ so stredom v testovanom bode ${\textstyle C}$, ktorá prechádza bodom ${\textstyle Q}$ . Ak prechádza aj bodom ${\textstyle P}$ je bod ${\textstyle C}$ kolineárny s bodmi ${\textstyle A}$ a ${\textstyle B}$.

V prípade kolinearity tvoria body ${\textstyle C}$, ${\textstyle P}$ a ${\textstyle Q}$ rovnoramenný trojuholník s ramenami ${\textstyle C}$${\textstyle P}$ a ${\textstyle C}$${\textstyle Q}$ , ktoré sú polomermi kružnice ${\textstyle \color {red}c}$.

Iné projekty

Matematický portál

Commons

• Commons ponúka multimediálne súbory na tému Kolinearita