Kompaktná množina

Kompaktná množina alebo kompakt je taká množina bodov topologického priestoru, že z každého jej pokrytia otvorenými množinami sa dá vybrať pokrytie konečné.

V Euklidovských priestoroch sú kompaktné množiny práve ohraničená a uzavreté podmnožiny Euklidovského priestoru. Napríklad v R je uzavretý jednotkový interval [0, 1] kompaktný, ale množina celých čísel Z nie (nie je ohraničená), ani polootvorený interval [0, 1) (nie je uzavretý).

Na metrických priestoroch možno ekvivalentne definovať kompaktnú množinu pomocou postupností: kompaktná množina je taká množina, že z každej postupnosti v tejto množine sa dá vybrať postupnosť konvergentná (v tejto množine). Kompaktná množina je na týchto priestoroch uzavretá a ohraničená.

V konečnodimenzionálnych normovaných vektorových priestoroch je množina kompaktnou prave vtedy, ak je uzavretá a ohraničená.

O kompaktnom priestore alebo kvázikompaktnom priestore (podľa Bourbakiho) hovoríme, ak je kompaktná množina priestorom (topologickým, vektorovým, metrickým).

Hausdorffov kompaktný priestor alebo kompaktný priestor (podľa Bourbakiho) je kvázikompaktný priestor podľa Bourbakiho, ktorý je Hausdorffovým priestorom.

Termín kompaktný zaviedol Fréchet v roku 1906.

Definície

Kompaktnosť podmnožín Rⁿ

Pre každú podmnožinu A Euklidovského priestoru Rⁿ sú nasledujúce podmienky ekvivalentné:

• Každé otvorené pokrytie A má konečné podpokrytie.
• Z každej postupnosti v A možno vybrať konvergentnú podpostupnosť, ktorej limita leží v A.
• Každá nekonečná podmnožina A má hromadný bod v A.
• Množina A je uzavretá a ohraničená.

V iných priestoroch nemusia byť tieto podmienky ekvivalentné.

Kompaktnosť topologického priestoru

Vlastnosť "konečného podpokrytia" je abstraktnejšia ako "uzavretosť a ohraničenosť", ale má tú výhodu, že k jej použitiu stačí znalosť topológie danej množiny, tj. nie je nutná znalosť metriky alebo okolitého priestoru. Teda kompaktnosť je topologická vlastnosť.

Topologický priestor X sa nazve kompaktným, ak z každého jeho otvoreného pokrytia možno vybrať konečné podpokrytie. Formálne to znamená:

Pre ľubovoľný systém $\{U_{i}\}_{i\in I}$ otvorených podmnožín $X$ taký, že $\bigcup _{i\in I}U_{i}\supseteq X$, existuje konečná podmnožina $J\subset I$ tak, že $\bigcup _{i\in J}U_{i}\supseteq X$.

Príklady kompaktných priestorov

• Prázdna množina.
• Konečný topologický priestor. Všeobecnejšie, priestor s konečnou topológiou (konečne mnoho otvorených množín).
• Uzavretý jednotkový interval $[0,1]$.
• Uzavretá jednotková guľa konečne rozmerného priestoru.
• Cantorova množina.
• Hilbertova kocka.

Vety

Niektoré tvrdenia vzťahujúce sa ku kompaktnosti:

• Spojitý obraz kompaktu je kompakt.
• Spojitá reálna funkcia na kompakte je ohraničená a nadobúda maxima.
• Uzavretá podmnožina kompaktu je kompakt.
• Kompaktná podmnožina Hausdorffovho priestoru je uzavretá.
• Neprázdna kompaktná podmnožina reálnych čísel má najväčší a najmenší prvok.
• Podmnožina Euklidovského priestoru je kompaktná, práve keď je uzavretá a ohraničená. (Heine–Borelova veta)
• Metrický priestor (alebo uniformný priestor) je kompaktný, práve keď je úplný a totálne ohraničený.
• Súčin kompaktných priestorov je kompaktný. (Tichonovova veta)
• Kompaktný Hausdorffov priestor je normálny.
• Každá spojitá bijekcia z kompaktného priestoru do Hausdorffovho pristoru je homeomorfizmus.
• Metrický priestor je kompaktný, práve keď z každej postupnosti možno vybrať konvergentnú podpostupnosť.
• Topologický priestor je kompaktný, práve keď každý net má konvergentný podnet.
• Topologický priestor je kompaktný, práve keď každý ultrafilter je konvergentný.

Ďalšie formy kompaktnosti

Existuje množstvo topologických vlastností, ktoré sú ekvivalentné kompaktnosti v metrických priestoroch, ale vo všeobecných topologických priestoroch nie:

• Sekvenciálna kompaktnosť: Každá postupnosť má konvergentnú podpostupnosť.
• Spočítateľná kompaktnosť: Každé spočítateľné otvorené pokrytie má konečné podpokrytie.
• Pseudokompaktnosť: Každá spojitá reálna funkcia je ohraničená.
• Slabá spočítateľná kompaktnosť: Každá nekonečná podmnožina má hromadný bod.

Platia nasledujúce implikácie:

• Kompaktný priestor je spočítateľne kompaktný.
• Sekvenciálne kompaktný priestor je spočítateľne kompaktný.
• Spočítateľne kompaktný priestor je pseudokompaktný a slabo spočítateľne kompaktný.

Metrický priestor sa nazýva prekompaktný alebo totálne ohraničený, ak každá postupnosť má cauchyovskú podpostupnosť.

Pozri aj

• Lokálne kompaktný priestor
• Metakompaktný priestor
• Parakompaktný priestor

Literatúra

• Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology (1978) Springer-Verlag, New York