Mandelbrotova množina

Mandelbrotova množina (pomenovaná po matematikovi Benoîtovi Mandelbrotovi) je jeden z najznámejších fraktálov. Je definovaná ako množina komplexných čísel c, pre ktoré platí

\lim _{n\rightarrow \infty }|z_{n}|\neq \infty

,

kde postupnosť $z_{0},z_{1},z_{2},...$ je definovaná rekurzívnym predpisom

z_{0}=0;\qquad z_{n+1}=z_{n}^{2}+c\,.

Bod c teda patrí do Mandelbrotovej množiny práve vtedy, ak uvedená limita neexistuje, alebo je konečná (napr. c = 0).

Je možné jednoducho dokázať, že postupnosť ide do komplexného nekonečna pre všetky $|c|>2$ , takže ak ktorýkoľvek člen postupnosti prekročí túto absolútnu hodnotu, potom $c$ nie je prvkom Mandelbrotovej množiny.

Vlastnosti

Celá množina leží vnútri kruhu so stredom v počiatku sústavy súradníc a polomerom 2.
Množina je súvislá (ako dokázali roku 1982 Adrien Douady a John H. Hubbard), je dokonca jednoducho súvislá. Predpokladá sa, že je tiež oblúkovo súvislá, ale nie je to dokázané.
Hausdorffova dimenzia hranice množiny je 2, ide teda o fraktál.
Množina je kompaktná, teda uzavretá, tým skôr borelovská a je možné jej teda priradiť Lebesgueovu mieru, jej plocha je približne 1,5065918 [1].
Množina pozostáva zo spočítateľne nekonečného množstva podobjektov, podobných kardioidám a kruhom, ktoré sa vzájomne dotýkajú.

Súvislosť s Juliovou množinou

Mandelbrotova množina tvorí akúsi mapu Juliových množín. Každému bodu odpovedá Juliova množina. Pre body vnútri Mandelbrotovej množiny odpovedajú súvislé Juliove množiny, bodom mimo zas nesúvislé a pre hraničné body sú na hranici spojitosti. Vizuálne najzaujímavejšie sú body v okolí hranice Mandelbrotovej množiny. Tvar Juliovej množiny pripomína okolie korešpondujúceho bodu v Mandelbrotovej množine.

Praktická implementácia

Pri praktickej implementácii sa pre každý bod rovnica opakovane vyčísľuje a vo chvíli, keď |z_n| > 2, je zrejmé, že pre daný bod bude rovnica divergovať (a pri grafickom zobrazovaní sa táto hodnota n, pre ktorú bod túto hranicu prekročil, spravidla prevádza na farbu). Ak ani po dopredu zvolenom počte iterácii k prekročeniu tejto hranice nedôjde, je bod považovaný za súčasť Mandelbrotovej množiny. Nastavenie tejto hranice ovplyvňuje výsledný obrázok: pre príliš malú hodnotu budú niektoré body nesprávne označené ako patriace do množiny, ale veľký počet iterácii vyžaduje dlhší čas výpočtu.

Výpočet je možné urýchliť tiež tým, že sa rýchlo detegujú body, ktoré do množiny evidentne patria, pretože sa nachádzajú vnútri hlavných častí množiny – kružnice a kardioidy.