Spočítateľná množina

Spočítateľná množina je množina, ktorá má v istom zmysle nanajvýš „rovnako veľa“ prvkov ako množina prirodzených čísel. Presne je spočítateľná množina definovaná ako množina ktorú možno bijektívne zobraziť na podmnožinu prirodzených čísel. Príkladom spočítateľnej množiny je napríklad množina párnych čísel, keďže každému párnemu číslu možno priradiť jeho polovičnú hodnotu a toto zobrazenie je bijekcia z párnych čísel do prirodzených čísel.

Príklady

• Každá nekonečná podmnožina prirodzených čísel je spočítateľná.
• Množina celých čísel a každá jej podmnožina je spočítateľná.
• Zložitejšími príkladmi spočítateľných množín je množina racionálnych čísel a algebraických čísel.

Vlastnosti

• Každá nespočítateľná množina je nekonečná.
• Zjednotenie spočítateľného množstva spočítateľných množín je spočítateľná množina
• Každá podmnožina spočítateľnej množiny je spočítateľná množina
• Dá sa tiež dokázať, že karteziánsky súčin dvoch spočítateľných množín (napr. $\mathbb {N} \times {}\mathbb {N}$) je opäť spočítateľnou množinou. Indukciou sa dá potom dokázať, že aj karteziánsky súčin konečnej množiny spočítateľných množín je opäť spočítateľný.

Pozri aj

• Nespočítateľná množina
• Mohutnosť množiny