Modálna logika

Modálna logika je odvetvie logiky, ktoré skúma logickú štruktúru nutnosti a možnosti, s ktorými klasická výroková alebo predikátová logika nedokážu plnohodnotne narábať. Napríklad výrok

„Je možné, že slnko práve prestalo svietiť.“

je z hľadiska klasickej výrokovej logiky atomárny. To znamená, že výroková logika ho chápe ako ďalej nedeliteľný celok a nezaujíma sa o jeho vnútornú štruktúru. Modálna logika ide hlbšie a rozlišuje v tomto výroku dve komponenty: takzvanú logickú modalitu "Je možné, že" a samotný výrok pod modalitou "Slnko práve prestalo svietiť".

V užšom význame pojem modálna logika označuje konkrétny logický kalkul študovaný v rámci modálnej logiky vo vyššie uvedenom zmysle. Tak napríklad kalkul K tiež známy ako normálna modálna logika alebo kalkuly S4 a S5 sú modálne logiky.

Naopak, v širšom význame slova sa pojem modálna logika používa pre celú triedu intenzionálnych logík akými sú napríklad deontická logika, doxastická logika, epistemická logika, temporálna logika, dynamická logika ale aj modálna logika vo význame uvedenom na začiatku.

Jazyk

Abeceda jazyka väčšiny modálnych logík obsahuje:

• konečnú alebo spočítateľnú množinu atomárnych symbolov.
• niektoré štandardné spojky výrokovej logiky, ako $\{\rightarrow ,\leftrightarrow ,\neg ,\vee ,\wedge \}$.
• a symbol $\Box$, ktorý vo výrokoch zastupuje modalitu nutnosti. Teda formula $\Box \,\varphi$ sa číta "Nutne $\varphi$" alebo "Je nutné, že $\varphi$".

Syntaktické pravidlá definujúce množinu formúl sú konštrukčné pravidlá pre spojky výrokovej logiky a navyše pravidlo pre konštrukciu formúl s modalitou:

• ak $\varphi$ je formula, potom aj $\Box \,\varphi$ je formula.

V takto vybudovanom jazyku sa definuje symbol $\Diamond$, ktorý zastupuje modalitu možnosti, ako syntaktická skratka:

$\Diamond \,\varphi \Leftrightarrow _{\!_{\mathit {def}}}\neg \Box \neg \varphi$

Táto definícia vychádza z pozorovania, že možnosť pravdivosti tvrdenia je iba nenutnosť jeho nepravdivosti. Alternatívne sa dá jazyk modálnych logík budovať tak, že sa symbol pre modalitu možnosti $\Diamond$ vezme ako súčasť abecedy a symbol pre modalitu nutnosti $\Box$ sa pomocou neho definuje ako syntaktická skratka:

$\Box \,\varphi \Leftrightarrow _{\!_{\mathit {def}}}\neg \Diamond \neg \varphi$

čo opäť vychádza z pozorovania, že nutnosť pravdivosti nejakého tvrdenia, je iba nemožnosť jeho nepravdivosti. Formula $\Diamond \,\varphi$ sa číta ako "Je možné, že $\varphi$". V takomto jazyku sa dajú úsporne a prehladne zapísať aj veľmi komplikované tvrdenia. Napríklad formula

$\Box \,\Diamond \,\varphi \leftrightarrow \Diamond \,\Box \,\Diamond \,\varphi$

sa číta "Tvrdenie $\varphi$ nutne možné vtedy a len vtedy ak je možné nutne možné."

Externé odkazy

• FILIT – zdroj, z ktorého pôvodne čerpal tento článok.