Planckove jednotky

Planckove jednotky alebo Planckova stupnica je skupina fyzikálnych jednotiek definovaných a zavedených nemeckým fyzikom Maxom Planckom. Planckove jednotky vyznačujú hranice platnosti známych fyzikálnych zákonov. Pri vzdialenostiach menších než Planckova dĺžka (približne 10⁻³⁵ m) a časoch kratších než Planckov čas (približne 10⁻⁴³ s) strácajú priestor a čas vlastnosti ako kontinuum. Každý objekt s rozmermi menšími než planckova dĺžka by mal podľa princípu neurčitosti také veľké množstvo energie resp. hmoty, že by nevyhnutne musel skolabovať do čiernej diery. Hľadanie zodpovedajúcej teórie kvantovej gravitácie patrí doteraz k základným fyzikálnym problémom.

Planckove jednotky tvoria prirodzený systém jednotiek dĺžky, času a hmotnosti tým, že sú vyjadrené pomocou najzákladnejších fyzikálych konštánt — gravitačnej konštanty (κ resp. G), rýchlosti svetla (c), Planckovej konštanty (h), Boltzmannovej konštanty (k_B) a permitivity vákua (ε₀). V teórii kvantovej gravitácie resp. v kvantovej fyzike všeobecne je zvyk považovať Planckove jednotky za základné a odvodzovať od nich G, c, h.

Planckove jednotky sú niekedy fyzikmi nazývané aj Božské jednotky.

Konštanta	Symbol	Rozmer
rýchlosť svetla vo vákuu	${c}\$	L T−1
gravitačná konštanta	${G}\$	M−1L3T−2
redukovaná Planckova konštanta	$\hbar ={\frac {h}{2\pi }},$ kde ${h}\$ je Planckova konštanta	ML2T−1
Coulombova konštanta	${\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}},$ kde ${\epsilon _{0}}\$ je permitivita vákua	Q−2 M L3 T−2
Boltzmannova konštanta	${k_{\mathrm {B} }}\$	ML2T−2Θ−1

Definície

Definícia Planckových jednotiek vychádza z jednoduchej analýzy rozmerov, kedy sa hľadá vhodný matematický výraz pre rozmer dĺžky, času resp. hmotnosti. Jednotlivé členy G, c, $\hbar$, ε₀ a k_B sa navzájom len násobia, delia, umocňujú a odmocňujú a platí $h=2\pi \hbar$.

Planckova dĺžka		$l_{\mathrm {p} }={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}\approx 1{,}61624\cdot 10^{-35}\ {\mbox{m}}$
Planckov čas		$t_{\mathrm {p} }={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{5}}}}\approx 5{,}39121\cdot 10^{-44}\ {\mbox{s}}$
Planckova hmotnosť		$m_{\mathrm {p} }={\sqrt {\frac {\hbar c}{G}}}\approx 2{,}17645\cdot 10^{-8}\ {\mbox{kg}}$
Planckova teplota		$T_{\mathrm {p} }={E_{\mathrm {p} } \over k_{\rm {B}}}={1 \over k_{\rm {B}}}\cdot {\sqrt {\hbar c^{5} \over G}}\approx 1{,}41679\cdot 10^{32}\ {\mbox{K}}$
Planckov náboj		$q_{P}={\sqrt {\hbar c4\pi \epsilon _{0}}}\approx 1{,}8755459\cdot 10^{-18}\ \mathrm {C}$

Okrem týchto základných jednotiek sú definované aj odvodené jednotky:

Planckova hybnosť		$m_{P}c={\frac {\hbar }{l_{P}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{3}}{G}}}\approx 6{,}52485\ \mathrm {kg\,m\,s^{-1}}$
Planckova sila		$F_{P}={\frac {E_{P}}{l_{P}}}={\frac {\hbar }{l_{P}t_{P}}}={\frac {c^{4}}{G}}\approx 1{,}21027\cdot 10^{44}\ \mathrm {N}$
Planckov výkon		$P_{P}={\frac {E_{P}}{t_{P}}}={\frac {\hbar }{t_{P}^{2}}}={\frac {c^{5}}{G}}\approx 3{,}62831\cdot 10^{52}\ \mathrm {W}$
Planckova uhlová frekvencia		$\omega _{P}={\frac {1}{t_{P}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{\hbar G}}}\approx 1{,}85487\cdot 10^{43}\ \mathrm {Hz}$
Planckov tlak		$p_{P}={\frac {F_{P}}{l_{P}^{2}}}={\frac {\hbar }{l_{P}^{3}t_{P}}}={\frac {c^{7}}{\hbar G^{2}}}\approx 4{,}63309\cdot 10^{113}\ \mathrm {Pa}$
Planckov prúd		$I_{P}={\frac {q_{P}}{t_{P}}}={\sqrt {\frac {c^{6}4\pi \epsilon _{0}}{G}}}\approx 3{,}4789\cdot 10^{25}\ \mathrm {A}$
Planckovo napätie		$U_{P}={\frac {E_{P}}{q_{P}}}={\frac {\hbar }{t_{P}q_{P}}}={\sqrt {\frac {c^{4}}{G4\pi \epsilon _{0}}}}\approx 1{,}04295\cdot 10^{27}\ \mathrm {V}$
Planckova impedancia		$Z_{P}={\frac {U_{P}}{I_{P}}}={\frac {\hbar }{q_{P}^{2}}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}c}}={\frac {Z_{0}}{4\pi }}\approx 29{,}9792458\ \Omega$
Planckova plocha		$A_{\mathrm {p} }=l_{\mathrm {p} }^{2}={\hbar G \over c^{3}}\approx 2{,}61223\cdot 10^{-70}\ {\mbox{m}}^{2}$
Planckova energia		$E_{\mathrm {p} }=m_{\mathrm {p} }\cdot c^{2}={\sqrt {\hbar c^{5} \over G}}\approx 1{,}9561\cdot 10^{9}\ {\mbox{J}}\approx 1{,}22090\cdot 10^{19}\ {\mbox{GeV}}$
Planckova hustota		$\rho _{\mathrm {p} }={m_{\mathrm {p} } \over l_{\mathrm {p} }^{3}}={c^{5} \over \hbar G^{2}}\approx 5{,}15500\cdot 10^{96}\ {\frac {\mbox{kg}}{{\mbox{m}}^{3}}}$

Planckova plocha hrá dôležitú úlohu v teórii strún a pri pochopení entropie čiernych dier v súvislosti s holografickým princípom.