Portál:Matematika/Odporúčaný článok/39 2011

Riemannov integrál, pomenovaný podľa nemeckého matematika Bernharda Riemanna, je v matematickej analýze historický prvá rigorózna definícia pojmu integrál funkcie na intervale. Aj keď je Riemannov integrál pre niektoré teoretické úlohy menej vhodný, je to jedna z najjednoduchších definícii integrálu. Niektoré z týchto technických ťažkostí sa dajú vyriešiť Riemannovým-Stieltjesovým integrálom a väčšina z nich Lebesgueovým integrálom.

Úvod

Nech $f(x)$ je nezáporná reálna funkcia na intervale $[a,b]$ a nech $S=\{(x,y)|0<y<f(x)\}$ je plocha pod touto funkciou na intervale $[a,b]$ (pozri Obrázok 2). Zaujíma nás obsah plochy $S$. Hneď ako ju vypočítame, označíme ju symbolom:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

Základnou myšlienkou Riemannovho integrálu je použiť veľmi jednoduché aproximácie tejto plochy. Získaním stále lepších a lepších aproximácií môžeme povedať, že "v limite" dostaneme presne plochu $S$ pod krivkou.

Je potrebné poznamenať, že na intervaloch, kde funkcia $f$ môže nadobúdať tak kladné, ako aj záporné hodnoty, integrál bude korešpondovať so znamienkovým obsahom, čiže obsahom plochy nad osou $x$ mínus obsahom plochy pod ňou.

Celý článok...