Rozdiel množín

V matematike sa ako rozdiel dvoch množín označuje množina obsahujúca všetky prvky, ktoré sa nachádzajú v prvej z týchto množín a nenachádzajú sa v druhej z množín. Rozdiel množín A a B sa označuje symbolom A - B, prípadne A \ B.^[1]

Formálny zápis:

x\in A-B\Leftrightarrow (x\in A\land x\notin B)

Rozdiel nie je komutatívny, ani asociatívny.

Napríklad rozdiel množín

$A=\{0,2,4,6,8,10,12,14\}$

a

$B=\{0,3,6,9,12,15,16\}$

je

$A\setminus B=\{2,4,8,10,14\}$ ,

ale

$B\setminus A=\{3,9,15,16\}$ .

Rozdielom množiny reálnych čísel ${\textstyle \mathbb {R} }$ a množiny racionálnych čísel ${\textstyle \mathbb {Q} }$ je množina iracionálnych čísel ${\textstyle \mathbb {I} }$ . Teda ${\textstyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} =\mathbb {I} }$ .

Rozdielom množiny celých čísel ${\textstyle \mathbb {Z} }$ a množiny prirodzených čísel ${\textstyle \mathbb {N} ^{+}}$ je množina záporných celých čísel ${\textstyle \{x\in \mathbb {Z} ,x<0\}}$ . Teda ${\textstyle \mathbb {Z} \setminus \mathbb {N} ^{+}=\{x\in \mathbb {Z} ,x<0\}}$ .

Vlastnosti

Pre ľubovoľné množiny ${\textstyle A}$ , ${\textstyle B}$ a ${\textstyle C}$ platia nasledujúce rovnosti množinových operácií:

$C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)$
$C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)$
$C\setminus (B\setminus A)=(A\cap C)\cup (C\setminus B)$
$(B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A)$
$(B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C)$
$A\setminus A=\varnothing$
$\varnothing \setminus A=\varnothing$
$A\setminus \varnothing =A$

Ďalej platí

Ak platí ${\textstyle A\subset B}$ , potom platí aj ${\textstyle C\setminus A\supset C\setminus B}$ .
Výraz ${\textstyle A\supseteq B\setminus C}$ je ekvivalentný výrazu ${\textstyle C\supseteq B\setminus A}$ .
Prienik množín ${\textstyle C\cap A}$ je možné zapísať aj ako rozdiel ${\textstyle C\setminus (C\setminus A)}$ .