Vpísaná kružnica

Vpísaná kružnica konvexného mnohouholníka je kružnica, ktorá má s každou stranou daného mnohouholníka práve jeden spoločný bod, v ktorom sa dotýkajú (tangent). Jej stred leží vždy vo vnútri mnohouholníka a vzdialenosti tohto stredu k jednotlivým bodom, v ktorých sa dotýka strán mnohouholníka sú rovnaké.

Mnohouholník, do ktorého sa môže skonštruovať vpísaná kružnica sa nazýva aj dotyčnicový (strany mnohouholníka sú dotyčnice) alebo tangenciálny.

Nie každý konvexný mnohouholník je dotyčnicový (napríklad obdĺžnik).

V pravidelnom mnohouholníku (napr. rovnostranný trojuholník, štvorec, pravidelný šesťuholník...), v ktorom sa dá vždy zostrojiť vpísaná kružnica, sa vpísaná kružnica dotýka jednotlivých strán v bode, ktorý delí stranu na dve rovnaké polovice.

Vpísanú kružnicu nie je možné skonštruovať vo vnútri konklávneho mnohouholníka.

Vpísaná kružnica trojuholníka

Vpísaná kružnica a jej konštrukcia

Vpísaná kružnica trojuholníka má stred v priesečníku osí vrcholových uhlov trojuholníka a leží vo vnútri kružnice deviatich bodov. Pre každý trojuholník je možné zostrojiť vpísanú kružnicu. Vzorec pre výpočet polomeru tejto kružnice je

$r={\frac {2S}{o}}\Leftrightarrow o={\frac {2S}{r}}\Leftrightarrow S={\frac {ro}{2}}$

kde $S$ je obsah a $o$ je obvod trojuholníka.

Gergonnov bod

Spojnice dotykových bodov vpísanej kružnice s protiľahlými vrcholmi trojuholníka sa pretínajú v jednom bode, ktorý sa nazýva Gergonnov bod, po francúzskom matematikovi Josephovi Gergonneovi. Gergonnov bod vždy leží vo vnútri trojuholníka.

Popis obrázku:

Gergonnov bod

• ΔABC
• a, b, c – strany
• o _a, o _b, o _c – osi uhlov
• V – priesečník osí uhlov (stred vpísanej kružnice)
• k – vpísaná kružnica
• K _a, K _b, K _c – dotykové body kružnice
• k _a, k _b, k _c – spojnica dotykových bodov s protiľahlými vrcholmi
• G – Gergonnov bod

Literatúra

• ŠVRČEK, Jaroslav; VANŽURA, Jiří. Geometrie trojúhelníka. Praha : Nakladatelství technické literatury, 1988.

Pozri aj

• Opísaná kružnica

Matematický portál

Zdroj

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Kružnice vepsaná na českej Wikipédii.