Graf prirodzeného logaritmu y=loge x , inak zapísané y = ln x Logaritmus alebo logaritmická funkcia (pri základe a ) je inverznou funkciou k exponenciálnej funkcii (s tým istým základom).
Logaritmom čísla x pri základe a teda nazývame v matematike také číslo y , pre ktoré platí:
x
=
a
y
{\displaystyle x=a^{y}\,}
a označujeme ho symbolicky
y
=
log
a
x
{\displaystyle y=\log _{a}x\,}
kde a > 0, a ≠ 1, x > 0. Funkciu
y
=
log
a
x
{\displaystyle y=\log _{a}x\,}
kde x > 0, potom nazývame logaritmickou funkciou so základom a . Definičný obor funkcie je interval
(
0
;
∞
)
{\displaystyle \left(0;\infty \right)}
obor hodnôt tvoria všetky reálne čísla .
Funkcia je:
klesajúca, ak
a
∈
(
0
,
1
)
{\displaystyle a\in \left(0,1\right)}
rastúca, ak
a
∈
(
1
,
∞
)
{\displaystyle a\in \left(1,\infty \right)}
Graf logaritmickej funkcie nazývame logaritmická krivka; prechádza bodmi
[
1
;
0
]
{\displaystyle \left[1;0\right]}
[
a
;
1
]
{\displaystyle \left[a;1\right]}
Konštanta a sa nazýva základ logaritmu. Logaritmus o základe 10 sa nazýva dekadický logaritmus' (prípadne desiatkový, alebo Briggsov podľa matematika Henryho Briggsa ). V prípade dekadického logaritmu sa v zápise vynecháva základ a zapisuje sa ako
y
=
log
x
{\displaystyle y=\log x}
Ďalším (v matematike pravdepodobne najpoužívanejším) prípadom je logaritmus o základe e Eulerovo číslo ). Tento sa nazýva prirodzený logaritmus (niekedy tiež Napierov podľa matematika Johna Napiera ) a používa sa skrátený zápis
y
=
ln
x
{\displaystyle y=\ln x}
Hlavne v informatike sa objavuje logaritmus o základe 2, nazývaný binárny logaritmus, ktorý sa skrátene zapisuje:
y
=
lg
x
{\displaystyle y=\lg x}
Logaritmus so základom
b
{\textstyle b}
x
{\textstyle x}
log
b
(
a
)
=
log
x
(
a
)
log
x
(
b
)
{\displaystyle \log _{b}(a)={\frac {\log _{x}(a)}{\log _{x}(b)}}}
alebo
log
b
a
×
log
c
b
=
log
c
a
{\displaystyle \log _{b}a\times \log _{c}b=\log _{c}a}
Graf prirodzeného logaritmu y = ln x (zelená línia) Prirodzený logaritmus alebo Napierov logaritmus (podľa Johna Napiera ) je taký logaritmus, ktorý ma základ e
Skrátený zápis:
y
=
ln
x
{\displaystyle y=\ln x}
Niekde sa môžete stretnúť aj so zápisom
y
=
ln
e
x
{\displaystyle y=\ln _{e}x\,}
alebo
y
=
log
e
x
{\displaystyle y=\log _{e}x\,}
Taylorove rady pre výpočet prirodzeného logaritmu[ 1]
ln
x
=
∑
i
=
1
∞
(
−
1
)
i
+
1
(
x
−
1
)
i
i
pre
0
<
x
≤
2
{\displaystyle \ln x=\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }(-1)^{i+1}{\frac {(x-1)^{i}}{i}}{\text{ pre }}0<x\leq 2}
ln
x
=
2
∑
i
=
1
∞
1
2
i
−
1
(
x
−
1
x
+
1
)
2
i
−
1
pre
x
>
0
{\displaystyle \ln x=2\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2i-1}}\left({\frac {x-1}{x+1}}\right)^{2i-1}{\text{ pre }}x>0}
ln
x
=
∑
i
=
1
∞
1
i
(
x
−
1
x
)
i
pre
x
≥
1
2
{\displaystyle \ln x=\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i}}\left({\frac {x-1}{x}}\right)^{i}{\text{ pre }}x\geq {\frac {1}{2}}}
Desiatkový logaritmus je logaritmus so základom desať. Zapisuje sa zvyčajne ako
y
=
log
10
x
{\textstyle y=\log _{10}x}
y
=
log
x
{\textstyle y=\log x}
Dvojkový logaritmus je logaritmus so základom dva. Zapisuje sa ako
y
=
log
2
x
{\textstyle y=\log _{2}x}
y
=
lg
x
{\textstyle y={\text{lg }}x}
Pre
a
,
x
,
y
>
0
,
a
≠
1
,
r
∈
R
{\displaystyle a,x,y>0,a\neq 1,r\in \mathbb {R} }
log
a
a
x
=
a
log
a
x
=
x
,
{\displaystyle \log _{a}a^{x}=a^{\log _{a}x}=x,}
log
a
x
+
log
a
y
=
log
a
x
y
,
{\displaystyle \log _{a}x+\log _{a}y=\log _{a}xy,\,}
log
a
x
−
log
a
y
=
log
a
x
y
{\displaystyle \log _{a}x-\log _{a}y=\log _{a}{\frac {x}{y}}}
log
a
x
r
=
r
log
a
x
{\displaystyle \log _{a}x^{r}=r\log _{a}x\,}
log
a
x
=
log
b
x
log
b
a
{\displaystyle \log _{a}x={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}a}}}
b
>
0
,
b
≠
1
{\displaystyle b>0,b\neq 1}
log
b
b
=
1
{\displaystyle \log _{b}b=1}
log
b
1
=
0
{\displaystyle \log _{b}1=0}
log
a
b
=
1
log
b
a
{\displaystyle \log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}}
a
log
b
x
=
x
log
b
a
{\displaystyle a^{\log _{b}x}=x^{\log _{b}a}}
log
b
a
=
log
b
c
⟹
a
=
c
{\displaystyle \log _{b}a=\log _{b}c\Longrightarrow a=c}
↑ Taylor Series Expansions of Logarimathic Functions [online]. www.efunda.com, [cit. 2025-02-12]. Dostupné online.
![{\displaystyle \left[1;0\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa5532acb1e1d1b1629a11706a392250009d52a3)
![{\displaystyle \left[a;1\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc6fba7efd59a68a2c01caeb281dc0dfbed474c6)
