Povrch s nulovou rýchlosťou

Jacobiho konštanta, povrch s nulovou rýchlosťou a krivka nulovej rýchlosti

Povrch s nulovou rýchlosťou alebo povrch nulovej rýchlosti je koncept, ktorý sa týka gravitačného problému n-telies. Predstavuje hraničný povrch, ktorý teleso s danou energiou nemôže prekročiť, pretože má na ňom nulovú rýchlosť. Prvýkrát ho predstavil George William Hill. Povrch s nulovou rýchlosťou je obzvlášť významný pri práci so slabými gravitačnými interakciami medzi obiehajúcimi telesami.

Problém troch telies

Trajektória telesa zanedbatelnej hmotnosti (červená) v rovinnom kruhovo obmedzenom probléme troch telies, ktoré viackrát obieha okolo ťažšieho telesa a potom sa dostane na obežnú dráhu okolo ľahšieho telesa. Obrysy označujú hodnoty Jacobiho integrálu. Tmavomodrá oblasť je pre trajektóriu zakázaná oblasť. Je ohraničená krivkou s nulovou rýchlosťou, ktorú nie je možné prekročiť

Pri kruhovo obmedzenom probléme troch telies obiehajú dve ťažké telesá v konštantnej radiálnej vzdialenosti, konštantnou uhlovou rýchlosťou a teleso zanedbateľnej hmotnosti je ovplyvnené ich gravitáciou. V rotačnom súradnicovom systéme, v ktorom sú telesá nehybné, sa zavedie odstredivá sila. V tomto súradnicovom systéme energia a hybnosť nie sú oddelene a Jacobi integrál je konštantný:

$C=\omega ^{2}(x^{2}+y^{2})+2\left({\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}\right)-\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)$

kde $\omega$ je rýchlosť rotácie, $x,y$ umiestnenie častice v rotujúcom súradnicovom systéme, $r_{1},r_{2}$ – vzdialenosti k telesám a – $\mu _{1},\mu _{2}$ ich hmotnosti krát gravitačná konštanta.

Pre danú hodnotu $C$, body na povrchu

$C=\omega ^{2}(x^{2}+y^{2})+2\left({\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}\right)$

vyžadujú, aby ${\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}=0$. To znamená, že častica nebude schopná prejsť cez tento povrch. Toto je povrch s nulovou rýchlosťou.

Všimnite si, že nulová rýchlosť je v rotujúcom rámci, v neotáčajúcom rámci častice rotujú s ostatnými telesami. Povrch tiež predpovedá len to, do ktorých oblastí nie je možné vstúpiť, nie tvar trajektórie vnútri povrchu.

Pohyb vo vnútry povrchu nulových rýchlostí. Teleso zanedbateľnej hmotnosti nemá dostatok energie na prekročenie hranice – povrchu, kde má nulovú rýchlosť. Kruhovo obmedzený systém troch telies je definovaný v troch dimenziach, aj keď sa väčšinou zobrazuje v dvoch, vtedy ide o rovinne kruhovo obmedzený sytém.

Zovšeobecnenie

Túto koncepciu možno zovšeobecniť na zložitejšie problémy, napríklad na telesá na eliptických obežných dráhach, všeobecný rovinný problém s tromi telesami, problém so štyrmi telesami so slnečným vetrom alebo v prstencoch.

Lagrangeove body

Povrch s nulovou rýchlosťou je tiež dôležitým parametrom pri hľadaní Lagrangeových bodov. Tieto body zodpovedajú miestam, kde má efektívny potenciál rotujúceho súradnicového systému extrémny. To zodpovedá miestam, kde sa povrchy s nulovou rýchlosťou zachytia a ak sa zmení $C$ vytvárajú otvory. Pretože trajektórie sú ohraničené povrchmi, trajektória, ktorá sa snaží uniknúť (alebo vstúpiť) do oblasti s minimálnou energiou, bude typicky prechádzať blízko Lagrangeovho bodu, ktorý sa používa pri plánovaní nízko energetickej trajektórie.

Zhluky galaxií

Vzhľadom na skupinu galaxií, ktoré gravitačne intereagujú, sa povrch nulovej rýchlosti používa na určenie toho, ktoré objekty sú gravitačne viazané (tj. nie sú prekonané Hubblovou expanziou), a teda sú súčasťou klastra galaxií, ako je napríklad miestna skupina.

Pozri aj

• Hillova sféra
• Nízko energetický transfer
• Orbitálna mechanika

Zdroj

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Zero-velocity surface na anglickej Wikipédii.